اولا اگر با روش های حدگیری آشنا باشید واضح است که:
$$\require{cancel} \lim_{t\to 3}\frac{\frac 1t-\frac 13}{t-3} = \lim_{t\to 3}\frac{\cancel{3-t}}{3t\cancel{(t-3)}} = \lim_{t\to 3}\frac{-1}{3t}=\frac {-1}9$$
اما با استفاده از تعریف حد فرض کنید $\epsilon>0$ داده شده باشد در اینصورت باید دنبال $\delta>0$ ی باشیم که اگر $0< |t-3|< \delta$ آنگاه $\left |\frac{\frac 1t-\frac 13}{t-3}-(-\frac 19)\right|< \epsilon$
از نامساوی اخیر داریم $\left|\frac{3-t}{3t(t-3)}+\frac 19\right|< \epsilon$ اگر و تنها اگر $\left|\frac{t^2-6t+9}{9t(t-3)}\right|< \epsilon$ اگر و تنها اگر
$$\left|\frac{(t-3)^2}{9t(t-3)}\right|=\left|\frac{t-3}{9t}\right|=\frac 19\frac1{|t|}|t-3|< \epsilon$$
همانطور که می بینید در مخرج $|t|$ داریم لذا باید دلتایی که در نظر میگیریم آنقدر بزرگ نباشد که همایگی $0< |t-3|< \delta$ شامل $t=0$ شود پس باید $\delta < 3$ انتخاب شود( می توانید $\delta< 2$ یا $\delta< 1$ یا $\delta$ کمتر از هر عددی کوچکتر از $3$ اختیار کنید این دیگه قاعده ای نداره و به دلخواه شماست. فقط شرط این است که همسایگی شامل صفر نشود) مثلا در اینجا $\delta< 2$ در نظر بگیریم در اینصورت از $||t|-3|< |t-3|< 2$ داریم $-2< |t|-3$ داریم $|t|>1$ و لذا $\frac 1{|t|}< 1$ که در اینصورت
$$ \frac 19\frac1{|t|}|t-3|< \frac 19\times 1\times |t-3|< \epsilon $$ اگر و تنهااگر $|t-3|< 9\epsilon$ پس کافی است $0< \delta< \min\{2, 9\epsilon\}$ انتخاب کنیم.
