به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
40 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط aria_amirkarimi
نمایش از نو توسط aria_amirkarimi

در ذوزنقه ABCD كه AB موازي CD است ،نيمساز هاي خارجي دو زاويه B و C در نقطه P و نيمساز هاي خارجي دو زاويه A و D در نقطه Q متقاطع اند.ثابت كنيد طول PQ نصف محيط ذوزنقه است

مرجع: كتاب هندسه مسطحه مسائل بدون حل سوال ١١

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط Mahdimoro
انتخاب شده توسط aria_amirkarimi
 
بهترین پاسخ

enter image description here

به آسانی ثابت میشود که مثلث های $BPC$ و $AQD$ قائم الزاویه اند. اکنون ثابت میکنیم $M$ و $N$ وسط های دو ساق هستند. عمودهای وارد از $P$ به ترتیب بر $AB$ و $BC$ و $CD$ را $K$ و $H$ و $T$ مینامیم. چون $BP$ نیمساز خارجی $B$ است، پس $PK=PH$ و چون $CP$ نیمساز خارجی $C$ است، پس $PH=PT$. از این دو نتیجه میشود که $PK=PT$ و این یعنی فاصله ی $P$ از $AB$ و $CD$ برابر است. به طریق مشابه اثبات میشود که فاصله ی $Q$ نیز از $AB$ و $CD$ برابر است. بنابراین فاصله ی پاره خط $PQ$ از $AB$ و $CD$ برابر است، پس $M$و $N$ وسط های $BC$ و $AD$ هستند.


چون $M$ و $N$ وسط های $BC$ و $AD$ هستند پس $MN= \frac{AB+CD}{2} $.

میدانیم و میتوان اثبات کرد که میانه ی وارد بر وتر نصف وتر است.پس :

از اینکه مثلث $BPC$ قائم الزاویه است و اینکه $M$ وسط $BC$ است نتیجه میشود $PM= \frac{BC}{2} $.

از اینکه مثلث $AQD$ قائم الزاویه است و اینکه $N$ وسط $AD$ است نتیجه میشود $QN= \frac{AD}{2} $.

بنابراین داریم:

$$PQ=PM+MN+NQ$$ $$= \frac{BC}{2} + \frac{AB+CD}{2} + \frac{AD}{2} $$ $$= \frac{AB+BC+CD+DA}{2} $$ پس حکم اثبات شد.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...