به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
49 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط aria_amirkarimi

از رأس A در مثلث متساوى الاضلاع ABC و در خارج از آن خط xy را رسم ميكنيم . محل تلاقى نيم ساز خارجى B با نيمساز xAB را M و محل تلاقى نيمساز خارجى زاويه C با نيم ساز زاويه yAC را N مى ناميم. ثابت كنيد AN=AM

مرجع: هندسه مسطحه مسائل بدون حل سوال ٩

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط Mahdimoro
انتخاب شده توسط aria_amirkarimi
 
بهترین پاسخ

ابتدا توجه کنید که $ \hat{BAC} = \hat{ABM} =60$ پس $AC$ و $BM$ موازی اند به طریق مشابه ثابت میشود $CN$ و $AB$ هم موازی اند.

اکنون ثابت میکنیم $ \hat{CAM} + \hat{BAN} =180$. به این منظور داریم: $$ \hat{CAM} + \hat{BAN} $$ $$=( \hat{CAB} + \hat{BAM} )+( \hat{BAC} + \hat{CAN} )$$ $$=120+ \hat{BAM} + \hat{CAN} $$ $$=120+ \frac{ \hat{CAy} }{2} + \frac{ \hat{BAx} }{2} $$ $$=120+( \frac{180- \hat{BAC} }{2} )$$ $$=120+ \frac{180-60}{2} $$ $$=180$$ پس ثابت شد که $ \hat{CAM} + \hat{BAN} =180$. از اینکه $BM$ موازی $AC$ است نتیجه میشود $ \hat{AMB} + \hat{CAM} =180$ و از اینکه $CN$ موازی $AB$ است نتیجه میشود $ \hat{CNA} + \hat{BAM} =180$. پس داریم:

$$ \hat{BMA} + \hat{CNA} $$ $$=(180- \hat{CAM} )+(180- \hat{BAN} )$$ $$=360-( \hat{BAN} + \hat{CAM} )$$ $$=360-180$$ $$=180$$ پس $ \hat{BMA} $ و $ \hat{CNA} $ مکمل هم هستند و همچنین $ \hat{BMA} $ و $ \hat{AMK} $ هم مکمل هم هستند درنتیجه $ \hat{CNA} = \hat{AMK} $.

عمود های وارد از $A$ بر $BM$ و $CN$ را به ترتیب $K$ و $H$ مینامیم. در دو مثلث $BAK$ و $CAH$ داریم $AB=AC$ و $ \hat{ABK} = \hat{ACH} =60$. پس دو مثلث به حالت وتر و زاویه ی تند هم نهشتند بنابراین $AK=AH$.

اکنون در دو مثلث $AMK$ و $ANH$ چون $ \hat{AKM} = \hat{AHN} =90$ و $ \hat{ANH} = \hat{AMK} $ نتیجه میشود $ \hat{MAK} = \hat{NAH} $ اکنون داریم $AK=AH$ و $ \hat{AKM} = \hat{AHN} =90$ و $ \hat{NAH} = \hat{MAK} $ پس دو مثلث به حالت ز.ض.ز هم نهشت اند. بنابراین: $$AM=AN$$ حکم ثابت شد.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...