من پاسخ را خلاصه مینویسم. چون سوال مربوط به المپیاد است، تفصیل اثبات را خودتان پیدا کنید.
مرحله اول : در شکل بالا خط DE دو کمان برابر در دو دایره ایجاد میکند. یعنی کمان DAB برابر کمان BE است.
خط CF دو کمان برابر در دو دایره ایجاد میکند. یعنی کمان CBA برابر کمان AFاست.
همچنین کمان AD برابر کمان AY و کمان BX برابر کمان BC است (روبرو به یک زاویه محاطی).
پس:
$ \widehat{B2} + \widehat{B3} = \widehat{A1} $
و
$ \widehat{A2} + \widehat{A3} = \widehat{B1} $
با جمع دو رابطه نتیجه می گیریم: $ \widehat{A4} = \widehat{B4} $
مرحله دوم: ثابت می کنیم که چهار ضلعی DAXB ذوزنقه متساوی الساقین است. پس AD=BX
اول اثبات موازی بودن دو خط AC و BD
در دایره بزرگ:$ \widehat{B3} + \widehat{B4} = \widehat{A1} +90$
در دایره کوچک:$ \widehat{D} + \widehat{B1} + \widehat{B2} =90$
در نتیجه:$ \widehat{A1} = \widehat{D} $
دوم اثبات تساوی دو زاویه کنار دوساق:
$ \widehat{AXB} + \widehat{B2} + \widehat{B3} =180$
ازطرفی
$ \widehat{A1} + \widehat{A2} + \widehat{A3} + \widehat{A4} =180$
در نتیجه:
$ \widehat{DAX} = \widehat{AXB} $
مرحله سوم: ثابت می کنیم که چهار ضلعی AYBC ذوزنقه متساوی الساقین است. پس AY=BC
نتیجه: پس مثلث های ADY و BXC برابرند و DY=CX
