اثبات واسطهها در هندسه (مثلث درون نیمدایره)

Question

در شکل مقابل نیم دایره‌ای به قطر $BC$ و به مرکز $O$ رسم شده و نقطه دلخواه $A$ روی محیط نیم دایره است و زاویه $A$ قائمه است. پاره خط های $AH$, $DO$ بر $BC$ عمودند. ثابت کنید $\frac{x+y}{2} \leq \sqrt{xy}$

Answer 1

از تشابه دو مثلث $AHB , AHC$ بنابه (زز) میتوان نتیجه گرفت که:

$ \frac{AH}{x} = \frac{y}{AH} \Rightarrow AH^{2}=xy \Rightarrow AH= \sqrt{xy} $

از طرفی دیگر $AH$ نصف وتری از دایره است و با توجه با اینکه بزرگترین وتر از نظر اندازه قطر است پس:

$ \frac{x+y}{2} = \frac{2AB}{2} = \frac{2OD}{2} =OD<AH= \sqrt{xy} $