صفحه گذرا از دو خط متقاطع

Question

سلام علیکم

صفحه ی گذرا بر دو خط متقاطع $ D =\begin{cases}x-y=1 & \\x+z=2 & \end{cases} $ و $ D': \frac{x-1}{3}=y= \frac{z-1}{2} $ از کدام نقطه ی زیر می گذرد؟

1)(3-,1,0)

2)(3,1,0)

3)(3,1-,0)

4)(1,1,1-)

بنده سوال رو اینطوری حل کردم:

$ D =\begin{cases}x-y=1 & \\x+z=2 & \end{cases} \Longrightarrow D =\begin{cases}x= \frac{y-1}{-1} & \\x= \frac{z-2}{-1} & \end{cases} \Longrightarrow D:x= \frac{y-1}{-1}= \frac{z-2}{-1} $ $n=u_{D} × U_{ D' } = (1,-1,-1)×(3,1,2)=(-1,-5,4)$

و نقطه ی مثلا $ p_{0} =(1,0,1)$ از خط $ D' $ را در نظر می گیریم و معادله ی صفحه را می نویسیم:

$-x-5y+4z= 3$

که در این صورت هیچ یک از نقطه ها در معادله صدق نمی کند!!تو پاسخنامه هم با همین عملیات سوال رو حل کرده فقط $U_{ D } =(-1,-1,1)$ و $ U_{ D' }=(3,1,2) $ آورده.اشکال کار کجاست؟

Comments

چون اعداد گزینه را فارسی تایپ کردید ترتیب درست نمایش داده نمیشه
اعداد رو همیشه انگلیسی تایپ کنید البته داخل متن مشکلی پیش نمیاد

---

اشتباهتان آنجاست که $y$ را در $D$ وقتی از یک طرف تساوی به طرف دیگر انتقال میدهید علامت آن تغییر میکند و شما این کار را انجام نداده اید و مولفه دوم بردار $U_{D} $قرینه محاسبه شده و این باعث میشود حا مسئله تا آخر اشتباه پیش برود

Answer 1

$$ D:\begin{cases}x-y=1 \\ x+z=2\end{cases} \Rightarrow \\ D:\begin{cases}x=y+1 \\ x=\frac{z-2}{-1}\end{cases} \Rightarrow \\ D:x=y+1=\frac{z-2}{-1} \Rightarrow \\ U_{D}=(1,1,-1) \\ D': \frac{x-1}{3}= y=\frac{z-1}{2} \Rightarrow \\ U_{D'}=(3,1,2) \\ n=U_{D} \times U_{D'} \\=(1,1,-1) \times (3,1,2) \\ n= (3,-5,-2) \\ P_{0}=(1,0,1) $$

حال معادله صفحه عمود بر $n$ و گذرا از $P_{0}$ را بدست میآوریم :

$$3(x-1)-5(y-0)-2(z-1)=0 \Rightarrow \\ 3x-5y-2z=1$$

حال با جاگذاری نقطه گزینه $1$ داریم:

$$(x,y,z)=(0,1,-3) \Rightarrow \\ 3x-5y-2z=1 \Rightarrow \\3(0)-5(1)-2(-3)=0-5+6=1$$

پس جواب گزینه $1$ است