به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
–1 امتیاز
138 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط Motioooo (2 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

آموزگارِ درس ریاضی عمومی ۲مان این تمرین را داده‌است. نشان دهید هیچ صفحه‌ای وجود ندارد که همزمان شامل دو خط زیر باشد.

\begin{align} & \ell \;\;\colon\; x= 2t-1,\; y=-t,\; z=t-2 \\ & \ell' \;\colon\; x=t,\; y=2t,\; z=3t \end{align}
توسط Motioooo (2 امتیاز)
این سوال رو استادم به عنوان تمرین دادن
سوال درسته
توسط amir7788 (2,577 امتیاز)
+1
یه راه ساده این است از هر خط دو نقطه به دلخواه پیدا کنید. سپس با سه نقطه از چهار نقطه، معادله صفحه ای را بنویسید که شامل این سه نقطه باشد. حال کافی است نشان دهید که نقطه چهارم در معادله صفحه صدق نمی کند
توسط AmirHosein (17,973 امتیاز)
@Motioooo مرجع اسم درس نیست، اگر از کتابی آورده‌اید، آنگاه اسم کتاب و نام نویسنده و شمارهٔ صفحه را بیاورید. به پست زیر نگاه کنید تا منظور از مرجع برای پست را متوجه شوید، اگر هم مرجعی ندارید، این بخش را خالی بگذارید.
https://math.irancircle.com/11973/#a16525
بعلاوه متنی که نوشتید نیز نیاز به ویرایش دارد.
توسط AmirHosein (17,973 امتیاز)
@Motioooo شما پس از این دیدگاه‌ها به سایت سر زده‌اید، انتظار می‌رود که پرسش‌تان را ویرایش می‌کردید! به ویرایش جدید نگاه کنید و اگر پست جدیدی گذاشتید برایش هم ارزش قائل شوید. به هر حال پیرامون پرسش‌تان، آیا پیشنهاد @amir7788 را امتحان کردید؟ به عنوان یک نکتهٔ دیگر، چه زمانی از دو خط نمی‌توان یک صفحه عبور داد؟ زمانی که این دو خط متنافر باشند. می‌دانید چگونه چک کنید که دو خط متنافر هستند؟
توسط Motioooo (2 امتیاز)
–2
@amirhosein بله چک میکنم ممنون از نظرتون

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط کیوان عباس زاده (3,034 امتیاز)

هر دو خطی در فضا دارای یکی از این 3 وضعیت هستند :

1 - همدیگر را در یک نقطه قطع می کنند .

2 - موازی هستند .

3- متنافر هستند .

در 2 حالت 1 و 2 دو خط حتما بر روی یک صفحه قرار دارند ولی در حالت سوم دو خط بر روی یک صفحه قرار ندارند که می گوییم دو خط متنافر هستند . ابتدا بررسی میکنیم که دو خط داده شده در سوال در حالت 1 قرار دارند یا خیر . برای این کار معادله یکی از خطوط را مثلا معادله خط اول را مستقل از پارامتر $t$ می نویسم . برای این کار کافی است متغیر $t$ را بر حسب متغیرهای $x$ و $y$ و $z$ بنویسیم :

$x=2t-1$ $ \Rightarrow $ $t= \frac{x+1}{2} $

$y=-t $ $ \Rightarrow $ $t=-y$

$z=t-2 $ $ \Rightarrow $ $t=z+2$

پس معادله استاندارد خط اول مستقل از پارامتر $t$ به صورت زیر است :

$ \frac{x+1}{2} = -y = z+2$ $ \clubsuit $

حال معادلات پارامتری خط دوم را به جای $x$ و $y$ و $z$ در معادله $ \clubsuit $ قرار می دهیم :

$ \frac{t+1}{2} = -2t = 3t+2$

از تساوی $\frac{t+1}{2} = -2t $ نتیجه می شود $t= \frac{-1}{5} $ . و از تسای $ -2t = 3t+2$ نتیجه می شود $t= \frac{-2}{5}$ . تفاوت این دو مقدار نشان می دهد که دو خط در حالت 1 قرار ندارند یعنی همدیگر را در یک نقطه قطع نمی کنند . حال حالت دوم را بررسی میکنیم . برای این کار ابتدا بردار هادی دو خط را بدست می آوریم . بردار هادی خط اول بردار $ \vec{u}=(2,-1,1) $ و بردار هادی خط دوم بردار $ \vec{v}= (1,2,3) $ است . شرط لازم و کافی برای موازی بودن دو خط این است که بردارهای هادی دو خط موازی باشد و شرط لازم و کافی برای موازی بودن دو بردار این است که ضرب خارجی دو بردار برابر بردار صفر شود . پس ضرب خارجی دو بردار $\vec{u}$ و $\vec{v}$ را بدست می آوریم :

$\vec{u} \times \vec{v}$= $(-5,-5,5)$

میبینیم که ضرب خارجی دو بردار برابر بردار صفر نشد . پس دو خط موازی نیستند پس در حالت 3 قرار دارند یعنی متنافر هستند . پس دو خط بر روی یک صفحه قرار ندارند .


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...