به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
3,086 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط __NABI__ (11 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

معادله نیمسازهای زاویه‌های ایجاد شده بین دو خط $l_1$ و $l_2$ که متقاطع‌اند را بیابید (با فرض داشتن معادله‌های دو خط متقاطع).

مرجع: کتاب حساب‌دیفرانسیل و انتگرال با هندسهٔ تحلیلی نوشتهٔ ریچارد سیلورمن ترجمهٔ علی‌اکبر عالم‌زاده ویرایش ؟ جلد ۱ صفحهٔ ۶۲ پرسش‌های ۴۷ تا ۵۰ مسائل تکمیلی فصل صفر

3 پاسخ

+2 امتیاز
توسط s.sayah.v (49 امتیاز)
ویرایش شده توسط s.sayah.v

طبق یک قضیه،هر نقطه در نیمساز فاصله ی یکسانی با دو خط دارد.همچنین فاصله ی یک خط با معادله ی $ax+by+c=0$ ویک نقطه با مختصات $(x,y)$ می شود $| \frac{ax+by+c}{ \sqrt{a^2+b^2} } |$

حال اگر معادله دو خط $ a_{1} x+ b_{1} x+ c_{1} =0$ و$ a_{2} x+ b_{2} y+ c_{2} =0$باشد.معادله خط نیمساز می شود : $ \frac{a_{1} x+ b_{1} x+ c_{1}}{ \sqrt{ a_{1} ^2+ b_{1} ^2} } = \frac{a_{2} x+ b_{2} y+ c_{2}}{ \sqrt{ a_{2} ^2+ b_{2} ^2} } $

توسط AmirHosein (13,612 امتیاز)
@s.sayah.v من این پست‌تان را دیگر حوصله نکردم بخوانم ولی تا اینجا ۳ تا پاسخ ارسال کردید که همه کوتاه و نادرست هستند. لطفا از ایجاد پست spamگونه خودداری کنید. @admin @fardina
توسط admin (1,602 امتیاز)
+1
@AmirHosein
لطفا هر کدام از پاسخ ها را که صلاح می دانید پنهان کنید.
@s.sayah.v
ممنون برای ارسال پاسخ. ولی پاسخ ها باید به اندازه کافی کامل بوده و در صورت لزوم مرجع دهی شود.
به نکات مدیریتی توجه کنید.
توسط saman1 (23 امتیاز)
+1
ایراد پاسخ چی است
توسط AmirHosein (13,612 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
@saman1 مشکل در پست‌های دیگر بوده‌است که اکنون حذف شده‌اند و همینطور طرز نوشتن فرمول‌ها پیش از ویرایش پست. @s.sayah.v ممنون از اینکه فرمول‌های ریاضی پست‌تان را ویرایش کردید. تنها نکتهٔ باقیمانده این است که نمی‌توانید قدرمطلق‌ها را از دو طرف معادلهٔ آخرتان خط بزنید.
+1 امتیاز
توسط mdardah (1,467 امتیاز)
ویرایش شده توسط mdardah

enter image description hereزاویه بین دو خط متقاطع ازرابطه زیربدست می آوریم $ \frac{m-n}{1+mn} $ =tan(a-b) که درآن aوb زاویه هایی است که دو خط با محور X ها میسازد و mوn شیب های دو خط می باشد.

چون تانژانت زاویه بین دو خط را داریم به کمک فرمول تانژانت نصف کمان شیب خط نیمساز دو زاویه تقاطع دو خط را بدست میآوریم یعنی اگر a-b=$ \theta $ باشد داریم $tan \theta = \frac{2tan \frac{ \theta }{2} }{1-tan^2 \frac{ \theta }{2} }$ طرف اول این رابطه را از فرمول بالا داریم وبه کمک طرفین وسطین یک معادله درجه 2 برحسب$ tan \frac{ \theta }{2} $حل میکنیم دو جوابی که بدست می آید یکی شیب نیمساز زاویه حاده است ودیگری شیب نیمساز زاویه منفرجه دو خط متقاطع می باشد.به کمک شیب بدست آمده ونقطه تلاقی دو معادله نیمساز زاویه بین دو خط متقاطع را میتوان نوشت.اگر نقطه تقاطع$ x' $و $ y' $باشد معادله نیمساز y- y' =tan $ \frac{ \theta }{2} $(x- x' ) پایان

توسط AmirHosein (13,612 امتیاز)
@mdardah با توجه به نمادگذاری‌هایتان و شکل‌تان شما باید زاویهٔ $\frac{a+b}{2}$ را بدست آورید و در معاولهٔ آخرتان بگذارید. اگر بخواهید از زاویهٔ $\theta$ استفاده کنید باید اول یک دوران محورهای مختصات انجام دهید تا محور $x$هایتان موازی خط اول‌تان شود سپس بعد از نوشتن ضابطهٔ خط در این مختصات جدید برعکس دوران پیشین را انجام دهید تا ضابطه را در مختصات قبلی داشته باشید.
+1 امتیاز
توسط AmirHosein (13,612 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

دو روش بوسیلهٔ دو کاربر دیگر ارائه شد، در این متن روش سومی را توضیح می‌دهیم که متناظر کاری است که در هندسه مدرسه با پرگار انجام می‌دادید. فرض کنید دو خط $l_1\colon a_1x+b_1y+c_1=0$ و $l_2\colon a_2x+b_2y+c_2=0$ دارید که یکدیگر را در نقطهٔ $a=(x_A,y_A)$ قطع کرده‌اند. این دو خط چهار گوشه (زاویه) با هم می‌سازند که گوشه‌های پشت‌به‌هم (نه کنار هم) با هم برابرند وامتداد نیمسازهای آن دو یک خط می‌شود. هر دو نیسماز از نقطهٔ $A$ می‌گذرند. برای یکی از آنها یک نقطهٔ دیگر می‌یابیم و معادلهٔ آن را با داشتن دو نقطه بدست می‌آوریم. برای دیگری یک نقطه داریم سپس با استفاده از اینکه دو نیمساز بر یکدیگر عمود هستند شیب آن را با استفاده از $$m'=\frac{-1}{m}$$ بدست می‌آوریم که $m$ شیب نیمساز اول است.

اکنون برای یافتن نقطهٔ دومی از نیمساز یکُم از روش هندسهٔ مدرسه با پرگار استفاده می‌کنیم. اگر به یاد آورید گام نخست این بود که دهانهٔ پرگار را به اندازهٔ دلخواهی باز می‌کردیم و به مرکز نقطهٔ $A$ یک کمان می‌زدیم تا هر دو خط $l_1$ و $l_2$ را قطع کند. فرض کنید اندازهٔ دهانهٔ پرگار برابر با $d$ باشد. آنگاه مختصات نقطهٔ برخورد با خط $l_1$ را اگر با $P_1=(x_1,y_1)$ نمایش دهیم. این نقطه را می‌توان با حل دستگاه دو معادله دو مجهول زیر پیدا کرد. $$\left\lbrace\begin{array}{ll} a_1x_1+b_1y_1+c_1 & =0\\ \sqrt{(x_1-x_A)^2+(y_1-y_A)^2} & =d \end{array}\right.$$ توجه کنید که این دستگاه دو پاسخ دارد که هر دو از نظر هندسی بامعنی هستند و انتخاب هر کدام که بخواهید فرقی ایجاد نمی‌کند. در بدترین حالت ممکن است در آخر کار به جای نیسمازی که می‌خواهید، نیمساز دوم را بدهد، ولی در آن حالت، نیمساز یکُم‌تان را در مرحلهٔ یافتن نیمساز دوم بدست خواهید آورد. پس تنها یک تغییر در ترتیب نیمسازها برایتان ایجاد می‌کند که مهم نیست. به همین شکل اگر نقطهٔ برخورد کمان با خط $l_2$ را با $P_2=(x_2,y_2)$ نمایش دهیم داریم $$\left\lbrace\begin{array}{ll} a_2x_2+b_2y_2+c_2 & =0\\ \sqrt{(x_2-x_A)^2+(y_2-y_A)^2} & =d \end{array}\right.$$ سپس دهانهٔ پرگار را بزرگتر از نصف فاصلهٔ دو نقطهٔ $P_1$ و $P_2$ باز می‌کردیم و به مرکز هر دو نقطه کمان می‌زدیم و یک نقطهٔ برخورد این دو کمان (این دو کمان یکدیگر را در حداکثر دو نقطه و حداقل یک نقطه قطع می‌کنند، حداقل زمانی روی می‌دهد که دهانهٔ پرگار دقیقا نصف فاصلهٔ دو نقطه باز شده باشد) را برمی‌داریم. این نقطه را با $B=(x_B,y_B)$ نمایش دهید. این نقطه، نقطهٔ مورد نظر ماست. اکنون اینها را جبری بیان کنیم. اندازهٔ دهانهٔ پرگار را با $d'$ نمایش دهید. باید $$d'\geq\frac{1}{2}\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$$ باشد. سپس نقطهٔ $B$ از حل دستگاه دو معادله دو مجهول زیر بدست می‌آید. $$\left\lbrace\begin{array}{ll} \sqrt{(x_B-x_1)^2+(y_B-y_1)^2} & =d'\\ \sqrt{(x_B-x_2)^2+(y_B-y_2)^2} & =d' \end{array}\right.$$

اکنون یک مثال حل کنیم. فرض کنید $l_1\colon x+y+1=0$ و $l_2\colon -2x+y+1=0$ . این دو خط یکدیگر را در نقطهٔ $A=(0,-1)$ قطع می‌کنند. با $d=1$ دو نقطهٔ کمکی برابر می‌شوند با $$\begin{array}{l} \left\lbrace\begin{array}{ll} x_1+y_1+1 & =0\\ \sqrt{(x_1-0)^2+(y_1-(-1))^2} & =1 \end{array}\right. \\ \Longrightarrow P_1\in\lbrace (-\frac{\sqrt{2}}{2},-1+\frac{\sqrt{2}}{2}),((\frac{\sqrt{2}}{2},-1-\frac{\sqrt{2}}{2})\rbrace \end{array}$$

من نقطهٔ دوم را برمی‌دارم. نثطهٔ $P_2$ نیز به روش مشابه می‌تواند یکی از دو نقطهٔ زیر باشد $$(\frac{\sqrt{5}}{5},-1+\frac{2\sqrt{5}}{5}),(-\frac{\sqrt{5}}{5},-1-\frac{2\sqrt{5}}{5})$$ من نقطهٔ نخست را انتخاب می‌کنم. اکنون باید $d'$ را با شرط زیر انتخاب کنم

$$d'\geq \sqrt{(\frac{\sqrt{5}}{5}-\frac{\sqrt{2}}{2})^2+((-1+\frac{2\sqrt{5}}{5})-(-1-\frac{\sqrt{2}}{2}))^2}=\frac{\sqrt{5}\sqrt{10+\sqrt{10}}}{5}$$

پس قرار می‌دهم $d'=2$ . آنگاه $$\left\lbrace\begin{array}{ll} \sqrt{(x_B-\frac{\sqrt{2}}{2})^2+(y_B-(-1-\frac{\sqrt{2}}{2}))^2} & =2\\ \sqrt{(x_B-\frac{\sqrt{5}}{2})^2+(y_B-(-1+\frac{2\sqrt{5}}{2}))^2} & =2 \end{array}\right.$$

این معادله دو پاسخ دارد که یکی از آن دو را انتخاب می‌کنیم، من نقطهٔ زیر را برداشتم. ساده‌سازی‌ها از اینجا به بعد کمی ناروان می‌شوند. $$\begin{array}{ll} x_B & = \frac{1}{4}\sqrt {2}+\frac{1}{10}\sqrt {5}+\frac{1}{20}\sqrt {5}\sqrt {2}\sqrt {730-220 \,\sqrt {5}\sqrt {2}}+{\frac {3\,\sqrt {730-220\,\sqrt {5}\sqrt {2}}}{ 20}} \\ y_B & = \frac{1}{5}\sqrt {5}-\frac{1}{4}\sqrt {2}-1+\frac{1}{20}\sqrt {730-220\,\sqrt {5}\sqrt { 2}} \end{array}$$ سپس شیب خط گذرنده از دو نقطهٔ $A$ و $B$ برابر می‌شود با $${\frac {4\,\sqrt {5}-5\,\sqrt {2}+\sqrt {730-220\,\sqrt {5}\sqrt {2}} }{\sqrt {5}\sqrt {2}\sqrt {730-220\,\sqrt {5}\sqrt {2}}+5\,\sqrt {2}+2 \,\sqrt {5}+3\,\sqrt {730-220\,\sqrt {5}\sqrt {2}}}}$$ که برابر است با $$\sqrt{10}-3$$ پس با داشتن این شیب و نقطهٔ $A$ نیمساز یکُم می‌شود: $$y=(\sqrt{10}-3)x-1$$ شیب نیمساز دوم می‌شود قرینه وارون شیب نیمساز یکُم پس $$y=(\frac{-1}{\sqrt{10}-3})x-1$$

توجه کنید که از فرمول داده‌شده در پاسخی دیگر در این پست باید معادلهٔ زیر را بر حسب متغیر $y$ حل کنیم $$\frac{|x+y+1|}{\sqrt{2}}=\frac{|-2x+y+1|}{\sqrt{5}}$$ که هم‌ارز با حل کردن معادلهٔ زیر است $$\frac{(x+y+1)^2}{2}=\frac{(-2x+y+1)^2}{5}$$ این معادله دو پاسخ دارد $$y=-3x+1+\sqrt{10},\quad y=-3x-1-\sqrt{10}x$$ که برابر با دو معادله‌ای است که یافتیم با کمی ساده‌سازی.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...