اثبات معادله کلی خط

Question

شکل کلی معادله خط به صورت Ax+By=C است . در دبیرستان به این شکل از معادله خط فقط اشاره شده است و هیچ توضیحی داده نشده است. می خواستم بدانم این شکل از معادله خط از کجا آمده است و AوBوC دقیقا چه هستند و از کجا آمده اند.

ممنون از تمام کسانی که به سوال من پاسخ دادند.اما هدف من از این سوال یادگیری مفاهیمی برای حل کردن سوال زیر بود. سوال: فرض کنید طول عمود ONکه از مبدا بر یک خط Lرسم شده است P باشد و ON یک زاویه $ \alpha $ با قسمت مثبت محور X ها می سازد.ثابت کنید که اگر معادله خط L برابر AX+BY=C باشد آنگاه$Xcos \alpha +Ysin \alpha =p$ یک معادله خط L است اگر $ A^{2}+ B^{2} \neq 0 $

Answer 1

من موافق با این حرفتان نیستم که در دبیرستان هیچ توضیحی داده‌نشده‌است! دو احتمال دارد یا شما در کلاس گوش نمی‌دادید یا آموزگارتان وظیفه‌اش را انجام نداده‌است. یک خط با داشتن دو نقطه یا یک نقطه و شیبش به طور یکتا مشخص می‌شود. شیب یک پاره‌خطِ واصل دو نقطهٔ $(x_1,y_1)$ و $(x_2,y_2)$ اینگونه تعریف می‌شد $$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$ برای مجموعهٔ نقاطی که روی یک خط باشند، شیب هر دو نقطه از آنها با شیب هر دو نقطهٔ دیگر از آنها باید برابر باشد. این یک تعریف از خط است. مفهوم دیگری از خط که در دبیرستان معرفی می‌کردند، عرض از مبدأ (و گاها طول از مبدأ) می‌بود که یعنی نقطه‌ای از خط که طولش صفر باشد، به عبارت دیگر محل تقاطع خط با محور عرض‌ها که برای هر خط غیر عمودی (خط عمودی، خطی‌است که شیبش تعریف‌نشده باشد - مخرج کسر تعریف شیب صفر شود-) وجود دارد (به همین ترتیب طول از مبدأ برای هر خط غیرافقی تعریف می‌شود). اگر خطی عمودی باشد آنگاه معادلهٔ آن برابر با $x=\mathbf{c}$ است که یعنی هر زوج مرتبِ $(x,y)$ای که مؤلفهٔ اولش برابر با $\mathbf{c}$ باشد که دلیلش نیز واضح است. اکنون یک خط غیرعمودی با شیبِ $m$ و عرض‌ازمبدأ $d$ (یعنی محور $y$ها را در نقطهٔ $(0,d)$ قطع می‌کند) با فرمول $$y=mx+d$$ معرفی می‌کردند. دلیلش را هم برایتان می‌گفتند. قرار است که

1. هر دو تا زوج مرتبی که از نقاط روی این خط بردارید شیبشان یکی شود،
2. و این شیب باید برابر با $m$ باشد.

واضح است که برقراریِ دو گزارهٔ (۱) و (۲) با هم، هم‌ارز است با برقراریِ گزارهٔ (۳) -ِ زیر به تنهایی.

3. برای هر یک جفت نقطهٔ دلخواه شیب برابر با $m$ باشد.

حتی بیشتر از آن اگر $A$ یک نقطهٔ دلخواه از این خط باشد و آن را ثابت بگیریم، آنگاه برقراری گزارهٔ (۳) هم‌ارز است با برقراری گزارهٔ (۴) -ِ زیر.

4. برای هر نقطهٔ دلخواه از خط مانند $B$، شیب پاره‌خط $AB$ برابر با $m$ باشد.

و یکی از نقطه‌های پرطرفدارِ خط‌مان همان عرض از مبدأ است. پس برای هر نقطهٔ دلخواه از خط مانند $(x,y)$ باید $$\frac{y-d}{x-0}=m\Longrightarrow y=mx+d$$ با توجه به بحثی که شد خطی که دارای شیب $m$ و عرض‌از‌مبدأ $d$ باشد به طور یکتا با معادلهٔ $y=mx+d$ معرفی می‌شود که معنای $m$ و $d$ روشن است. اکنون شکل دیگری از این فرمول که آن هم در دبیرستان توضیح داده‌شده‌است $ax+by+c=0$ است. اگر $b=0$ آنگاه $x=\tfrac{-c}{a}$ پس خط عمودیِ $x=\mathbf{c}$ با $\mathbf{c}=\tfrac{-c}{a}$ را داریم. اگر $b\neq 0$ آنگاه $y=\tfrac{-a}{b}x+\tfrac{-c}{b}$ پس خط با شیب $\tfrac{-a}{b}$ و عرض‌ازمبدأ $\tfrac{-c}{b}$ را داریم.

به شیوه‌های دیگر نیز می‌توان با این فرمول‌ها کار کرد که موضوع تمرین‌های درسی‌تان بوده‌است. ولی مطمئنا نمی‌توانید بگوئید که کار با شیب و عرض‌ازمبدأ را در کلاس تدریس نکرده‌اند.

---

اکنون پرسشی که در ویرایش افزودید. از بحث بالا برای حل آن استفاده می‌کنیم.

پاره‌خط $ON$ که بر خط شما عمود است شیبش برابر با تانژانتِ زاویه‌ای است که با قسمت مثبت محور $x$ها می‌سازد. از طرف دیگر چون بر خط‌تان عمود است پس شیبش باید قرینه‌وارونِ شیب خط‌تان باشد. شیب خط را با $m$ و شیب $ON$ را با $m'$ نمایش دهید. داریم $$\begin{array}{lll}m'=\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} & \overset{m'=\tfrac{-1}{m}}{\Longrightarrow} & m=\frac{-\cos\alpha}{\sin\alpha}\\ & \overset{m=\tfrac{-a}{b}}{\Longrightarrow} & a=\cos\alpha,\;b=\sin\alpha\end{array}$$ توجه کنید که $a$ و $b$ حتما نباید سینوس و کسینوس باشند بلکه هر مضربی از آنها که با هم ساده‌شود و $m$ را بدهد می‌توانند باشند یعنی قرار دادنِ $a=2\cos\alpha$ و $b=2\sin\alpha$ نیز درست است (و البته باید $c$ را نیز در همان مضرب ضرب کنید).

تا اینجا شیب خط را داریم، اما بی‌شمار خط موازی با شیب یکسان موجود است، برای داشتن خط‌مان نیاز به یک نقطه از آن نیز داریم. توجه کنید که پرسش گفته‌است «درازایِ پاره‌خط عمود بر خط از مبدأ برابر با $p$ است. نقاط روی این خط عمود گذرنده از مبدأ مضرب‌های $(\cos\alpha,\sin\alpha)$ هستند پس نقطه‌ای از خط که این عمود به آن اصابت کرده‌است برابر است با $$\frac{p(\cos\alpha,\sin\alpha)}{|(\cos\alpha,\sin\alpha)|}=(p\cos\alpha,p\sin\alpha)$$ اکنون برای یافتن $c$ کافیست این نقطه را در معادله جایگذاری و $c$ را بدست آوردید که با استاندارد $ax+by+c=0$ داریم $c=-p$ و اگر ثابت معادله را به آن سمت برابری ببریم ضابطهٔ خواسته‌شده در پرسش شما می‌شود.

Comments

ممنون از توضیحاتتون ولی هدف من از این سوال چیز دیگری بود که در ویرایش سوال به آن اشاره کردم.ضمن اینکه تمامی مطالبی را که شما برایم توضیح دادید در کتاب های دبیرستان نوشته شده بود ولی به معادله کلی خط فقط اشاره شده بود و معلم ها به ما گفتند که می توانید معادله یک خط را به این شکل هم بنویسید.
باز هم ممنون از زحماتتون.

---

@aaa با همین توضیحاتی که دادم پرسشی که به متن پرسش‌تان افزودید حل می‌شود که به دنبالهٔ پاسخ افزودم.

Answer 2

قضیه کامل را به صورت زیر مینویسیم و اثبات میکنیم .

---

هر معادله درجه یک دومجهولی یک خط راست است . به طور کلی معادله درجه یک دو مجهولی به صورت زیر است : $$Ax+By+C=0 \tag{1}$$ که $A,B,C $ مقدار ثابت هستند و $x,y$ مجهول های معادله هستند .

---

حال اثبات میکنیم .

هر نقطه روی مختصات دکارتی به دو مشخصه نمایش داده میشود یکی طول $x$ و دیگری عرض $y$ . حال فرض کنید سه نقطه دلخواه به صورت $p(x_1,y_1) ,q(x_1,y_2) ,r(x_3,y_3)$ در معادله ای $(1)$ صدق میکنند در نتیجه خواهیم داشت : $$Ax_1+By_1+C=0 \tag{2}$$ $$Ax_2+By_2+C=0 \tag{3}$$ $$Ax_3+By_3+C=0 \tag{4}$$

حال با ضرب متقاطع معادله $(2) ,(3)$ را به صورت زیر بدست میاوریم :

$$\dfrac{A}{y_2-y_3}=\dfrac{B}{x_3-x_2}=\dfrac{C}{x_2y_3-x_3y_2}=k \tag{5}$$

حال از معادله $(5) $ مقدار های ثابت $A,B,C$ را بدست میاوریم و در معادله $(2)$ قرار میدهیم که خواهیم داشت : $$k \big(x_1(y_2-y_3)+y_1(x_3-x_2)+(x_2y_3-x_3y_2)\big) =0 \ \ \ \ \ k\neq 0$$

$$(x_1y_2-x_1y_3)+(y_1x_3-y_1x_2)+(x_2y_3-x_3y_2) =0$$ $$\frac{1}{2}\big((x_1y_2-x_1y_3)+(y_1x_3-y_1x_2)+(x_2y_3-x_3y_2) \big)=0 \tag{6}$$

که سمت چپ معادله $(6)$ فرمول مساحت مثلث با داشتن سه راس $q,p,r$ است که با توجه به اینکه این مساحت برابر صفر شده است . نتیجه میگیریم که نقاط $q,p,r$ روی یک خط راست قرار دارند . اثبات کامل شد . $ \Box $