دو روش بوسیلهٔ دو کاربر دیگر ارائه شد، در این متن روش سومی را توضیح میدهیم که متناظر کاری است که در هندسه مدرسه با پرگار انجام میدادید. فرض کنید دو خط
$l_1\colon a_1x+b_1y+c_1=0$
و
$l_2\colon a_2x+b_2y+c_2=0$
دارید که یکدیگر را در نقطهٔ
$a=(x_A,y_A)$
قطع کردهاند. این دو خط چهار گوشه (زاویه) با هم میسازند که گوشههای پشتبههم (نه کنار هم) با هم برابرند وامتداد نیمسازهای آن دو یک خط میشود. هر دو نیسماز از نقطهٔ
$A$
میگذرند. برای یکی از آنها یک نقطهٔ دیگر مییابیم و معادلهٔ آن را با داشتن دو نقطه بدست میآوریم. برای دیگری یک نقطه داریم سپس با استفاده از اینکه دو نیمساز بر یکدیگر عمود هستند شیب آن را با استفاده از
$$m'=\frac{-1}{m}$$
بدست میآوریم که
$m$
شیب نیمساز اول است.
اکنون برای یافتن نقطهٔ دومی از نیمساز یکُم از روش هندسهٔ مدرسه با پرگار استفاده میکنیم. اگر به یاد آورید گام نخست این بود که دهانهٔ پرگار را به اندازهٔ دلخواهی باز میکردیم و به مرکز نقطهٔ
$A$
یک کمان میزدیم تا هر دو خط
$l_1$
و
$l_2$
را قطع کند. فرض کنید اندازهٔ دهانهٔ پرگار برابر با
$d$
باشد. آنگاه مختصات نقطهٔ برخورد با خط
$l_1$
را اگر با
$P_1=(x_1,y_1)$
نمایش دهیم. این نقطه را میتوان با حل دستگاه دو معادله دو مجهول زیر پیدا کرد.
$$\left\lbrace\begin{array}{ll}
a_1x_1+b_1y_1+c_1 & =0\\
\sqrt{(x_1-x_A)^2+(y_1-y_A)^2} & =d
\end{array}\right.$$
توجه کنید که این دستگاه دو پاسخ دارد که هر دو از نظر هندسی بامعنی هستند و انتخاب هر کدام که بخواهید فرقی ایجاد نمیکند. در بدترین حالت ممکن است در آخر کار به جای نیسمازی که میخواهید، نیمساز دوم را بدهد، ولی در آن حالت، نیمساز یکُمتان را در مرحلهٔ یافتن نیمساز دوم بدست خواهید آورد. پس تنها یک تغییر در ترتیب نیمسازها برایتان ایجاد میکند که مهم نیست. به همین شکل اگر نقطهٔ برخورد کمان با خط
$l_2$
را با
$P_2=(x_2,y_2)$
نمایش دهیم داریم
$$\left\lbrace\begin{array}{ll}
a_2x_2+b_2y_2+c_2 & =0\\
\sqrt{(x_2-x_A)^2+(y_2-y_A)^2} & =d
\end{array}\right.$$
سپس دهانهٔ پرگار را بزرگتر از نصف فاصلهٔ دو نقطهٔ
$P_1$
و
$P_2$
باز میکردیم و به مرکز هر دو نقطه کمان میزدیم و یک نقطهٔ برخورد این دو کمان (این دو کمان یکدیگر را در حداکثر دو نقطه و حداقل یک نقطه قطع میکنند، حداقل زمانی روی میدهد که دهانهٔ پرگار دقیقا نصف فاصلهٔ دو نقطه باز شده باشد) را برمیداریم. این نقطه را با
$B=(x_B,y_B)$
نمایش دهید. این نقطه، نقطهٔ مورد نظر ماست. اکنون اینها را جبری بیان کنیم. اندازهٔ دهانهٔ پرگار را با
$d'$
نمایش دهید. باید
$$d'\geq\frac{1}{2}\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$$
باشد. سپس نقطهٔ
$B$
از حل دستگاه دو معادله دو مجهول زیر بدست میآید.
$$\left\lbrace\begin{array}{ll}
\sqrt{(x_B-x_1)^2+(y_B-y_1)^2} & =d'\\
\sqrt{(x_B-x_2)^2+(y_B-y_2)^2} & =d'
\end{array}\right.$$
اکنون یک مثال حل کنیم. فرض کنید
$l_1\colon x+y+1=0$
و
$l_2\colon -2x+y+1=0$
. این دو خط یکدیگر را در نقطهٔ
$A=(0,-1)$
قطع میکنند. با
$d=1$
دو نقطهٔ کمکی برابر میشوند با
$$\begin{array}{l}
\left\lbrace\begin{array}{ll}
x_1+y_1+1 & =0\\
\sqrt{(x_1-0)^2+(y_1-(-1))^2} & =1
\end{array}\right. \\
\Longrightarrow P_1\in\lbrace (-\frac{\sqrt{2}}{2},-1+\frac{\sqrt{2}}{2}),((\frac{\sqrt{2}}{2},-1-\frac{\sqrt{2}}{2})\rbrace
\end{array}$$
من نقطهٔ دوم را برمیدارم. نثطهٔ
$P_2$
نیز به روش مشابه میتواند یکی از دو نقطهٔ زیر باشد
$$(\frac{\sqrt{5}}{5},-1+\frac{2\sqrt{5}}{5}),(-\frac{\sqrt{5}}{5},-1-\frac{2\sqrt{5}}{5})$$
من نقطهٔ نخست را انتخاب میکنم. اکنون باید
$d'$
را با شرط زیر انتخاب کنم
$$d'\geq \sqrt{(\frac{\sqrt{5}}{5}-\frac{\sqrt{2}}{2})^2+((-1+\frac{2\sqrt{5}}{5})-(-1-\frac{\sqrt{2}}{2}))^2}=\frac{\sqrt{5}\sqrt{10+\sqrt{10}}}{5}$$
پس قرار میدهم
$d'=2$
. آنگاه
$$\left\lbrace\begin{array}{ll}
\sqrt{(x_B-\frac{\sqrt{2}}{2})^2+(y_B-(-1-\frac{\sqrt{2}}{2}))^2} & =2\\
\sqrt{(x_B-\frac{\sqrt{5}}{2})^2+(y_B-(-1+\frac{2\sqrt{5}}{2}))^2} & =2
\end{array}\right.$$
این معادله دو پاسخ دارد که یکی از آن دو را انتخاب میکنیم، من نقطهٔ زیر را برداشتم. سادهسازیها از اینجا به بعد کمی ناروان میشوند.
$$\begin{array}{ll}
x_B & = \frac{1}{4}\sqrt {2}+\frac{1}{10}\sqrt {5}+\frac{1}{20}\sqrt {5}\sqrt {2}\sqrt {730-220
\,\sqrt {5}\sqrt {2}}+{\frac {3\,\sqrt {730-220\,\sqrt {5}\sqrt {2}}}{
20}} \\
y_B & = \frac{1}{5}\sqrt {5}-\frac{1}{4}\sqrt {2}-1+\frac{1}{20}\sqrt {730-220\,\sqrt {5}\sqrt {
2}}
\end{array}$$
سپس شیب خط گذرنده از دو نقطهٔ
$A$
و
$B$
برابر میشود با
$${\frac {4\,\sqrt {5}-5\,\sqrt {2}+\sqrt {730-220\,\sqrt {5}\sqrt {2}}
}{\sqrt {5}\sqrt {2}\sqrt {730-220\,\sqrt {5}\sqrt {2}}+5\,\sqrt {2}+2
\,\sqrt {5}+3\,\sqrt {730-220\,\sqrt {5}\sqrt {2}}}}$$
که برابر است با
$$\sqrt{10}-3$$
پس با داشتن این شیب و نقطهٔ
$A$
نیمساز یکُم میشود:
$$y=(\sqrt{10}-3)x-1$$
شیب نیمساز دوم میشود قرینه وارون شیب نیمساز یکُم پس
$$y=(\frac{-1}{\sqrt{10}-3})x-1$$
توجه کنید که از فرمول دادهشده در پاسخی دیگر در این پست
باید معادلهٔ زیر را بر حسب متغیر
$y$
حل کنیم
$$\frac{|x+y+1|}{\sqrt{2}}=\frac{|-2x+y+1|}{\sqrt{5}}$$
که همارز با حل کردن معادلهٔ زیر است
$$\frac{(x+y+1)^2}{2}=\frac{(-2x+y+1)^2}{5}$$
این معادله دو پاسخ دارد
$$y=-3x+1+\sqrt{10},\quad y=-3x-1-\sqrt{10}x$$
که برابر با دو معادلهای است که یافتیم با کمی سادهسازی.
