حاصل جمع عبارت زیر برابر کدام گزینه است؟$ \frac{۱}{۱}+ \frac{۱}{۲}+ \frac{۱}{۳}+... \frac{۱}{۱۰۲۴} $

Question

درمورد حاصل جمع

$ \frac{۱}{۱}+ \frac{۱}{۲}+ \frac{۱}{۳}+... \frac{۱}{۱۰۲۴} $ کدام گزینه صحیح است؟

عددی کمتر از ۵

عددی بین ۵و۱۰

عددی بین ۱۰ و۱۵

عددی بیشتر از ۱۵

Answer 1

انتخاب عدد ۱۰۲۴ در پرسش بی‌دلیل نبوده‌است. توجه کنید که این عدد $2^{10}$ است. بیایید یک بار کسرها را اینگونه دسته‌بندی کنید: $$\begin{array}{l} 1+ \\ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\\ \frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\\ \frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{15}+\\ \frac{1}{16}+\dots+\frac{1}{31}+\\ \frac{1}{32}+\dots+\frac{1}{63}+\\ \frac{1}{64}+\dots+\frac{1}{127}+\\ \frac{1}{128}+\dots+\frac{1}{255}+\\ \frac{1}{256}+\dots+\frac{1}{511}+\\ \frac{1}{512}+\dots+\frac{1}{1023}+\\ \frac{1}{1024} \end{array}$$ سپس از اینکه هر کسر در هر سطر از کسر نخست سطر کوچکتر است داریم که حاصل آخر باید از $$\begin{array}{l} 1+ \\ \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\\ \frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\\ \frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{8}+\\ \frac{1}{16}+\dots+\frac{1}{16}+\\ \frac{1}{32}+\dots+\frac{1}{32}+\\ \frac{1}{64}+\dots+\frac{1}{64}+\\ \frac{1}{128}+\dots+\frac{1}{128}+\\ \frac{1}{256}+\dots+\frac{1}{256}+\\ \frac{1}{512}+\dots+\frac{1}{512}+\\ \frac{1}{1024} \end{array}$$ کوچکتر باشد. ولی در این جمع جدید، هر سطر برابر با یک می‌شود به جزء سطر آخر. پس اگر حاصل جمع خواسته شده در متن پرسش را با $x$ نمایش دهیم داریم $$x< 10+\frac{1}{1024}$$ اکنون جمع را به شکل دیگری دسته‌بندی کنید: $$\begin{array}{l} 1+ \\ \frac{1}{2}+\\ \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\\ \frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\\ \frac{1}{9}+\dots+\frac{1}{16}+\\ \frac{1}{17}+\dots+\frac{1}{32}+\\ \frac{1}{33}+\dots+\frac{1}{64}+\\ \frac{1}{65}+\dots+\frac{1}{128}+\\ \frac{1}{129}+\dots+\frac{1}{256}+\\ \frac{1}{257}+\dots+\frac{1}{512}+\\ \frac{1}{513}+\dots+\frac{1}{1024} \end{array}$$ سپس از اینکه هر کسر در هر سطر از کسر پایانی سطر بزرگتر است داریم که حاصل آخر باید از $$\begin{array}{l} 1+ \\ \frac{1}{2}+\\ \frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\\ \frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\\ \frac{1}{16}+\dots+\frac{1}{16}+\\ \frac{1}{32}+\dots+\frac{1}{32}+\\ \frac{1}{64}+\dots+\frac{1}{64}+\\ \frac{1}{128}+\dots+\frac{1}{128}+\\ \frac{1}{256}+\dots+\frac{1}{256}+\\ \frac{1}{512}+\dots+\frac{1}{512}+\\ \frac{1}{1024}+\dots+\frac{1}{1024} \end{array}$$ بزرگتر باشد. ولی در این جمع جدید، هر سطر برابر با $\tfrac{1}{2}$ می‌شود به غیر از سطر یکم. پس داریم: $$6.5<x$$ در نتیجه گزینهٔ الف و دال آشکارا نادرست هستند. توجه کنید که اختلافِ $\tfrac{1}{3}$ از $\tfrac{1}{2}$ خیلی بیشتر از $\frac{1}{1024}$ است. پس زمانیکه داشتیم کران بالا برای $x$ می‌یافتیم و یک‌سوم را با یک‌دوم جابجا می‌کردیم مقداری بیشتر از $\tfrac{1}{1024}$ به مقدار واقعی افزوده‌ایم پس اشکالی ندارد که در انتهای عملیات مقدارِ $\tfrac{1}{1024}$ از این کران بالا بکاهیم. پس $x<10$ و گزینهٔ جیم نیز رد می‌شود.

Comments

آفرین،روش بسیار خوبی است ،قدری وقت گیره

---

@rezasalmanian ممنون. بلی نوشتنش وقت‌گیر است ولی با توجه به اینکه آزمون سمپاد بوده‌است هدف این بوده‌است که دانش‌آموزی که سریع ساختار و ایده به ذهنش برسد و ذهنی دسته‌بندی و سریع محاسبه کند را پیدا کنند که تستی بودن پرسش نیز این را نشان می‌دهد که نوشتن مشروح پاسخ را نمی‌خواهند.

---

ممنون از لطف شما

---

عالی و جامع بود.

Answer 2

چون گزینه‌ها را به صورت بازه‌ای داده، یعنی جواب تقریبی می‌خواهد. پس انتگرال می‌گیریم.

$$ \int_1^{1024} \frac{1}{x} dx =Ln1024-Ln1=10*Ln2=6.9 $$

جواب واقعی باید کمی بیشتر باشد. ولی چون تا 10 فاصله زیادی داریم، می‌توانیم با اطمینان بگوییم گزینه 2 درست است.

Comments

ممنون.برای پایه هشتم میخوام قابل فهم باشه.انتگرال نخواندن.

Answer 3

چون پایه هشتم انتگرال نخوانده اند، این سوال احتمالا میخواهد بسنجد که دانش آموز قادر به تشخیص محدوده درست برای تقریب زدن هست یا نه:

پس ابتدا با نمایش ستونی 1 و 1/2 و 1/3 و .... و 1/1024 روی محور مختصات، به آنها کمک می کنیم تا درکی از آنچه میخواهند جمع بزنند بدست آورند. شبیه تصویر زیر:

سپس میگوییم که جمع زدن همه این اعداد ممکن نیست. وباید تقریب بزنیم. مثلا 1 تا 10 را با یک تقریب و 10 تا صد را با یک تقریب و 100 تا 1000 را با یک تقریب. شبیه شکل زیر:

سپس از آنها میخواهیم یک عدد را به عنوان میانگین انتخاب کرده و در طول بازه ضرب کنند. (هرچه این اعداد به 1/4 و 1/40 و 1/400 نزدیکتر باشند جواب دقیقتر است.)

پس جواب آنها شبیه زیر خواهد بود:

$ \big( \frac{1}{4} *(10-1)\big) + \big(\frac{1}{40} *(100-10)\big) + \big(\frac{1}{400} *(1000-100)\big) = \frac{27}{4} \simeq 7 $

Comments

سپاس از توجه شما.ممنون

---

@MSS با این روش مخالف نیستم ولی هنوز چندین نکته از قلم افتاده‌است.
- این ایده هنوز از مفهوم انتگرال ولی به صورت عددی استفاده می‌کند.
- چرا جمع را تا $\tfrac{1}{1000}$ رفته‌اید و نه $\tfrac{1}{1024}$؟
- مشخص نیست که چرا $\tfrac{1}{4}$، $\tfrac{1}{40}$ و $\tfrac{1}{400}$ را انتخاب کرده‌اید.
- تقریبی که انجام داده‌اید مشخص نشده‌است که از مقدار واقعی بزرگتر است یا کوچکتر که بتوان با آن بازهٔ قرارگیری پاسخ را استنتاج کرد. اگر هم قرار است به جای کران بالا یا پائین، بگوئید پاسخ واقعی در گویی (بازه‌ای) حول این عدد که تقریب مجموع اصلی است قرار دارد باید دانست که پاسخ چقدر به این تقریب نزدیک است آیا در یک گوی به شعاع یک‌دهم قرار دارد یا یک گوی به شعاع ده، چون اگر میزان خطای تقریب بزرگتر از فاصلهٔ عدد تقریبی با عددهای بازه‌ای از گزینه‌ها که این عدد در آن قرار دارد باشد آنگاه بوسیلهٔ این عدد تقریبی نمی‌توان پاسخ درست را یافت.

---

در پاسخ به پرسش اول چون از 1/1000 تا 1/1024 تفاوت به اندازه 0.024 است.

واینکه چگونه به 1/4 رسیدم. با جمع اعداد 1 و 1/2 و 1/3 و 1/4 و (1/5+1/6+1/7=3/6) و (1/8+1/9+1/10=3/9) که برابر 2.91 یا 9/3 میشود.
پس برای تقریب میتوان 1/3 یا 1/4 یا را گرفت. که در هر دو حالت پاسخ در بازه 5 تا 10 است.

---

@MSS
- اولین ایرادی که گرفتم این بود که شما هنوز انتگرالگیری می‌کنید نه کسرهایی را کنار گذاشتید.
- سری همسازه یعنی جمع وارون اعداد طبیعی واگراست، بنابراین تضمینی بر اینکه چون مقدار کسر از جایی به بعد کوچک شد آنگاه می‌توانیم از آنجا را بگذاریم کنار وجود ندارد. لذا برای اینکه از کسر فلان تا فلان را کنار بگذارید باید واقعا محاسبه کنید یا اثباتی یا توضیحی بیاورید که حاصل جمع این کسرهایی که کنار می‌گذارید نسبت به حاصل کلی که خواسته‌شده‌است بسیار کوچکتر است. لذا به این شکل که متن پاسخ را نوشته‌اید پذیرفته‌نیست.
- چیزی که در توضیح یک‌چهارم نوشتید برای من نامفهوم است.