Question

مجموعۀ $A=\{1,2,3,...,49\}$ چند زیر مجموعه دو عضوی دارد که در هر کدام از آن‌ها اختلاف دو عضو برابر ۲ باشد؟

Answer 1

تعداداین زیر مجموعه ها برابر است با تعداد $x$ های طبیعی است که در نامساوی $x+2 \leq 49$ یا همان $x \leq 47$ صدق کند . تعداد این $x$ ها برابر $47$ عدد میباشد .

Comments

سلام دوست عزیز . راه حلتون اشتباه است

---

معذرت میخوام شما سوال رو درست حل کردید من اول فک کردم در سوال نوشته اختلاف دو عضو حداقل 2 باشد . بنده سوال رو با فرض اینکه اختلاف دو عضو حداقل 2 باشد حل کرده ام .

Answer 2

سوال را کمی سختر کنیم :

مجموعه $\lbrace 1,2,...,49\rbrace$ چند زیر مجموعه دو عضوی دارد که اختلاف دو عضوش حداقل برابر $2$ است .

می خواهیم تعداد زیرمجموعه هایی چون $\lbrace a,b\rbrace$ از مجموعه $\lbrace 1,2,3,...,49\rbrace$ را بشماریم که $1 \leq a < b \leq 49$ به طوری که $b-a \geq 2$ . حال فرض کنید $\chi$ گردایه ی چنین زیر مجموعه هایی است :

$$\chi = \lbrace \lbrace a,b \rbrace \mid 1 \leq a < b \leq 49 \ \ ,\ \ b-a \geq 2 \rbrace$$ و فرض کنید $\gamma$ گردایه زیر مجموعه های دو عضوی مجموعه $\lbrace 1,2,...,48\rbrace$ است : $$\gamma = \lbrace \lbrace a,b\rbrace \mid \ 1 \leq a < b \leq 48\rbrace$$ حال تابع $\phi : \chi \longrightarrow \gamma$ را به صورت زیر تعریف می کنیم : $$\phi ( \lbrace a,b\rbrace )= \lbrace a,b-1\rbrace$$ به راحتی می توان دید که تابع $\phi$ یک به یک و پوشا است . پس یک تناظر دوسویی بین اعضای $\chi$ و اعضای $\gamma$ وجود دارد . بنابراین تعداد اعضای این دو مجموعه برابر است . یعنی تعداد زیر مجموعه های دو عضوی مجموعه $\lbrace 1,2,...,49\rbrace$ که اختلاف آن دو حداقل دو است برابر است با تعداد زیر مجموعه های 2 عضوی مجموعه $\lbrace 1,2,...,48\rbrace$ که برابر است با : $$\binom{48}{2}$$

Comments

این سوال با کمک گرفتن از روش متمم گیری به راحتی سوال اول می توان جواب داد
تعداد زیر مجموعه دو عضوی برابر است با  $\binom{49}{2}$
از طرفی تفاضل دو عضو زیر مجموعه، حداقل 1 است که تعداد اینها نیز برابر  تعداد  زیر مجموعه های
  $\{n, n+1\}$
که برابر 48 تاست. بنابراین جواب نهایی برابر است با

$$\binom{49}{2} -48$$