سوال را کمی سختر کنیم :
مجموعه $ \lbrace 1,2,...,49\rbrace $ چند زیر مجموعه دو عضوی دارد که اختلاف دو عضوش حداقل برابر $2$ است .
می خواهیم تعداد زیرمجموعه هایی چون $ \lbrace a,b\rbrace $ از مجموعه $ \lbrace 1,2,3,...,49\rbrace $ را بشماریم که $1 \leq a < b \leq 49$ به طوری که $b-a \geq 2$ . حال فرض کنید $ \chi $ گردایه ی چنین زیر مجموعه هایی است :
$$ \chi = \lbrace \lbrace a,b \rbrace \mid 1 \leq a < b \leq 49 \ \ ,\ \ b-a \geq 2 \rbrace $$و فرض کنید $ \gamma $ گردایه زیر مجموعه های دو عضوی مجموعه $ \lbrace 1,2,...,48\rbrace $ است :
$$ \gamma = \lbrace \lbrace a,b\rbrace \mid \ 1 \leq a < b \leq 48\rbrace $$
حال تابع $ \phi : \chi \longrightarrow \gamma $ را به صورت زیر تعریف می کنیم :
$$ \phi ( \lbrace a,b\rbrace )= \lbrace a,b-1\rbrace $$به راحتی می توان دید که تابع $\phi $ یک به یک و پوشا است . پس یک تناظر دوسویی بین اعضای $ \chi $ و اعضای $ \gamma $ وجود دارد . بنابراین تعداد اعضای این دو مجموعه برابر است . یعنی تعداد
زیر مجموعه های دو عضوی مجموعه $ \lbrace 1,2,...,49\rbrace $ که اختلاف آن دو حداقل دو
است برابر است با تعداد زیر مجموعه های 2 عضوی مجموعه $ \lbrace 1,2,...,48\rbrace $ که
برابر است با :$$ \binom{48}{2} $$
