به کمک کسرهای تلسکوپی نشان دهید نامساوی زیر برقرار است

Question

به کمک کسرهای تلسکوپی نشان دهید که $ \frac{۹}{۱۰۰}< \frac{۱}{ ۱۰^{۲} } + \frac{۱}{ ۱۱^{۲} } + \frac{۱}{ ۱۲^{۲} } +...+ \frac{۱}{ ۹۹^{۲} } $

Answer 1

اگر:

$ \frac{1}{10 \times 10} + \frac{1}{11 \times 11} +...+ \frac{1}{100 \times 100}=X $

,

$ \frac{1}{10 \times 11} + \frac{1}{11 \times 12} +...+ \frac{1}{100 \times 101}=Y $

باشند.

چون $ \frac{1}{a(a+1)} < \frac{1}{a \times a} $ پس:

$ Y < X $

است.

چون $ \frac{1}{a(a+1)} = \frac{1}{a} - \frac{1}{a+1} $ پس:

$Y= \frac{1}{10} - \frac{1}{11} + \frac{1}{11} - \frac{1}{12} +...+ \frac{1}{99} - \frac{1}{100} = \frac{1}{10} - \frac{1}{100} \Rightarrow Y= \frac{9}{100} $

لذا حکم ثابت می شود.

Comments

بسیار عالی.ممنون