تابع $y=\ln x$ را به صورت زیر بازنویسی میکنیم :
$$\ln (x)=\ln (1+x-1)=\ln \left(1+(x-1)\right) $$
و تعریف میکنیم که $u:=(x-1)$
حال میدانیم که :
$$\ln (1+u)=u-\frac{u^2}2+\frac{u^3}3-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{u^n}n+\cdots,\qquad |u|<1\tag1$$
در نتیجه باتوجه به $(1)$ خواهیم داشت :
$$\ln (x) =(x - 1) - \frac{ (x-1)^{2} }{2} + \frac{ (x-1)^{3} }{3} - \frac{ (x-1)^{4} }{4} + ....$$
توجه کنید که معادله $(1)$ چگونه به این صورت نوشتیم . میدانیم که :
$$\frac{1}{1+t}=1-t+t^2-t^3+\cdots \ \ \ \ ; |t| < 1\tag{2}$$
و با توجه به تعریف انتگرالی لگاریتم طبیعی که به صورت زیر است :
$$\ln(1+x)=\int_0^x \frac{1}{1+t}\,dt \tag{3}$$
حال معادله $(2)$ را در $(3)$ جایگزین کنید . خواهیم داشت :
$$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}n+\cdots,\qquad |x|<1\tag1$$
