سری مک لورن tanx را تا 4 جمله بنویسید.

Question

سری مک لورن tanx را تا ۴ جمله بنویسید. در حل باید از فرمول ضرب دو سری توانی استفاده شود؟! باید از سری توانی سینوس و کسینوس استفاده کنیم.اما من در حل به مشکل خوردم...

Comments

منظورتان چیست که باید از حاصلضرب دو سری توانی استفاده کرد. سری مکلورن تانژانت را میتوانید در
https://www.petervis.com/mathematics/maclaurin_series/maclaurin_series_tanx.html#:~:text=Deriving%20the%20Maclaurin%20series%20for,great%20fun%20to%20work%20out.

ببینید

---

@Me.S تعریف سری مک‌لورن را بلد هستید؟ اگر بلی سری مک‌لورن $\tan$ را می‌توانید حساب کنید. توجه کنید که اگر یک تابع برابر تقسیم دو تابع دیگر باشد الزاما چند جملهٔ اول سری‌اش برابر با تقسیم چند جملهٔ اول سری‌های آن دو تابع نمی‌شود! اگر تعریف سری مک‌لورن را بلد نیستید، در اینصورت بهتر است تعریف سری مک‌لورن را بخوانید. https://math.irancircle.com/3804/#a3815

---

@mdgi
@AmirHosein
منظورم نوشتن سری tanx با استفاده از تقسیم سری sin x بر cos x و سپس نوشتن سری مک لورن tan بود.

Answer 1

فرض کنید 4 جمله اول بسط مک لورن $\tan(x)$ برابر $g(x)$ باشد. در این صورت داریم

$g(x) = \frac{\tan(0)}{0!} + \frac{\tan'(0)}{1!}x+ \frac{\tan''(0)}{2!}x^2+\frac{\tan'''(0)}{3!}x^3 =0 +x+0+\frac{x^3}{3} =x+ \frac{x^3}{3} $.

Comments

واقعا خوشحال شدم خیلی مرسی.چن وقته دنبالش بودم

Answer 2

برای بدست آوردن بسط مک لورن یک تابع، از فرمول زیر استفاده می کنیم.،/ علامت خط کسری است

$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...$

در این فرمول، $f(x)$ تابعی است که می خواهیم بسط آن را بدست آوریم، $a$ نقطه ای است که می خواهیم تابع را در آنجا بسط دهیم و $f'(a)$، $f''(a)$ و $f'''(a)$ مشتقات اول، دوم و سوم تابع در نقطه $a $هستند.

برای محاسبه بسط مک لورن تابع $tanx$، از نقطه $a=0$ استفاده می کنیم. ابتدا مشتقات تابع را در نقطه صفر محاسبه می کنیم:

$f(x) = tanx f'(x) = sec^2x f''(x) = 2sec^2xtanx f'''(x) = 2sec^2x(1+3tan^2x)$

سپس با استفاده از فرمول بسط مک لورن تابع tanx را به دست می آوریم:

$tanx = f(0) + f'(0)x/1! + f''(0)x^2/2! + f'''(0)x^3/3! + ... = 0 + 1x/1! + 0x^2/2! + 2x^3/3! + ... = x + (1/3)x^3 + (2/15)x^5 + (17/315)x^7 + ...$

بنابراین، بسط مک لورن تابع $tanx $به صورت سری بالاست.