به صورت خلاصه فرمول های درونیابی مثلثاتی رو یادآوری می کنم (برای جزئیات بیشتر به کتاب استوئر رجوع کنید)
فرض کنید نقاط $(x_i,f_i),i=0,1,\dots,N-1$ نقاط درونیابی باشند. تعریف می کنیم
$$
\begin{align*}
&\psi (x)=\frac{A_0}{2}+\sum_{h=1}^{M}(A_h\cos(hx)+B_h\sin(hx)),N=2M+1,\\&\psi (x)=\frac{A_0}{2}+\sum_{h=1}^{M-1}(A_h\cos(hx)+B_h\sin(hx)+\frac{A_M}{2}\cos(Mx),N=2M
\end{align*}$$
ضرایب $A_h,B_h$ را باید تحت شرایط $ \psi (x_k)=f_k,k=0,1,\dots,N-1$ به دست آوریم. ضرایب با فرمول های زیر نشان داده می شوند
$$A_h=\frac{2}{N}\sum_{k=0}^{N-1} f_k\cos(hx_k),B_h=\frac{2}{N}\sum_{k=0}^{N-1} f_k\sin(hx_k)$$
به عنوان مثال فرض کنیم نقاط درونیابی به صورت $(0,2),(\frac{2\pi}{3},\frac{1}{2}),(\frac{4\pi}{3},\frac{1}{2})$ باشند.
$$i=0,1,3-1 \rightarrow N=3=2\times 1+1\rightarrow M=1$$
$$ \psi (x)=\frac{A_0}{2}+A_{1}\cos(x)+B_1\sin(x) $$
$$
\begin{align*}
&A_{0}=\frac{2}{3}\sum_{k=0}^{2} f_k \cos(0\times x_k)=\frac{2}{3}(f_0+f_1+f_2)=\frac{2}{3}(2+\frac{1}{2}+\frac{1}{2})=2\\&A_1=\frac{2}{3}[f_0\cos(x_0)+f_1\cos(x_1)+f_2\cos(x_2)]=1\\&B_1=\frac{2}{3}[f_0\sin(x_0)+f_1\sin(x_1)+f_2\sin(x_2)]=0\\&\rightarrow \psi (x)=\frac{2}{3}+1\times \cos(x)+0\times \sin(x)=1+\cos(x)
\end{align*}
$$
