اسپلاین رو مکعبی درنظر می گیریم. تابع اسپلاین رو میشه مثلا روی زیر بازه $[x_{i-1},x_{i}]$ به صورت زیر نشان داد
$$S_\Delta(x)=a'+b'(x-x_i)+c'(x-x_i)^2+d'(x-x_i)^3$$
تابع $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ را روی $[a,b]$ مطلقا پیوسته گوییم هرگاه برای هر $\epsilon>0$ وجود داشته باشد $\delta>0$ به طوری که برای هر دنباله متناهی از زیربازه های دو به دو مجزای $(a_i,b_i)$ از $[a,b]$ داشته باشیم
$$ \sum _{i}|a_i-b_i|<\delta \Rightarrow \sum _i |f(a_i)-f(b_i)|<\varepsilon$$
در اینجا $S''_\Delta(x)=2c'+6d'(x-x_i)$. پس
$$ \begin{align*}
\sum _i |S''_\Delta(a_i)- S''_\Delta(b_i)|&= \sum _i |2c'+6d'(a_i-x_i)-2c'-6d'(b_i-x_i)|\\&=6d' \sum _i |a_i-b_i|
\end{align*} $$
کافیه $\delta=\frac{\varepsilon}{6d'}$ انتخاب بشه.
