ثابت کنید که نیم پیوستهٔ پائینی بودنِ یک تابع $f$ هم ارز با وجود دنبالهٔ افزایشی از تابع های پیوسته است که همگرای نقطه به نقطه به $f$ باشد.

Question

ثابت کنید که یک تابعِ $f$ در بازهٔ $[a,b]$ نیم‌پیوستهٔ پائینی است اگر و تنها اگر دنبالهٔ یکنوایِ افزایشی از تابع‌های پیوسته بر روی $[a,b]$ مانند $\lbrace g_n\rbrace$ یافت شود که برای هر $x\in [a,b]$ داشته‌باشیم $\lim_{n\to\infty}g_n(x)=f(x)$.