آیا هر تابع یک به یک، باید پیوسته باشد تا اکیدا یکنوا شود؟ اگر بلی آیا الزام این شرط را می شود با ارائهٔ یک مثال نقض ثابت کرد؟

Question

شروط اکیدا یکنوایی یک تابع، علاوه بر یک به یک بودن، پیوسته بودن تابع هم هست. ایا مثال نقضی هست که بشه باهاش ثابت کرد پیوستگی هم جزو شروط اکیدا یکنوا بودن تابع هست؟ در واقع یک تابع یک به یک غیر پیوسته میشه مثال زد که اکیدا یکنوا نباشه؟

Comments

دامنه تابع رو مشخص کنید.

---

. x>0. دامنه اختیاری هستش. به عنوان مثال x های مثبت

---

@negar14711 درست بیان کردن کمک‌تان می‌کند تا درست متوجه شوید، برای نمونه جملهٔ «شروط پیوستگی تابع، علاوه بر یک به یک بودن، پیوسته بودن تابع هم هست.» که با آن متن پرسش‌تان را شروع کردید را خودتان چگونه تعبیر می‌کنید؟ منظورتان جملهٔ «اگر یک تابع هم یک به یک و هم پیوسته باشد، آنگاه این تابع اکیدا یکنوا است؟» بوده‌است؟ یا جملهٔ دوم‌تان «ایا مثال نقضی هست که بشه باهاش ثابت کرد پیوستگی هم جزو شروط اکیدا یکنوا بودن تابع هست؟» احتمالا اینجا هم منظورتان این بوده‌است که «آیا مثال نقضی هست که نشان داد پیوستگی برای یکنوای اکید بودن الزامی نیست؟» و جملهٔ آخر «در واقع یک تابع یک به یک غیر پیوسته میشه مثال زد که اکیدا یکنوا نباشه؟» منظورتان این بوده‌است که «تابع یک به یک ناپیوسته ای یافت که اکیدا یکنوا باشد».
مثال نقض برای رد کردن یک گزارهٔ با سور عمومی «هر» استفاده می‌شود نه برای اثباتِ آن. یعنی برای اینکه ثابت کنید شرط پیوستگی لازم است (با فرض اینکه واقعا لازم باشد)، با مثال نقض نمی‌آیند یک تابع یک به یک و ناپیوسته پیدا کنند که یکنوای اکید نیست. بعد نتیجه بگیرند که هر تابع یک به یک برای یکنوای اکید بودن نیاز به پیوستگی دارد.

---

حق با شماست، از آنجایی که تازه در این محفل ثبت نام کردم، هنوز آشنایی کامل ندارم. نکات خوبی رو گوشزد کردید.

Answer 1

به عنوان مثال تابع $f(x)=\frac 1x$ را در نظر بگیرید.

یا تابع $f$ در بازه $[-1, 1]$ را به صورت زیر در نظر بگیرید:

$$f(x)= \begin{cases}x+1 & -1\leq x\leq 0\\ -x & 0< x\leq 1\end{cases}$$

برای اثبات اینکه پیوستگی و یک به یکی، اکیدا یکنوایی را نتیجه می دهد اینجا را ببینید: https://math.irancircle.com/9197