آیا هر تابع پیوسته و یک به یک، الزاما یک تابع یکنوایِ اکید است؟

Question

فرض کنید $A$ یک مجموعه دلخواه باشد. و تابع $f: A \to\mathbb{R}$ یک‌به‌یک و پیوسته باشد روی $A$، آیا می‌توان نتیجه گرفت که این تابع اکید یکنوا است؟ اگر نه پس در حالات کلی مجموعه $A$ باید چگونه باشد تا تابع اکید یکنوا باشد؟

Comments

در حالت کلی باید  مجموعه $A$ یک بازه باشد . ( هر بازه ی دلخواهی :بسته باز و ...)

Answer 1

فرض کنید $A=[a, b]$ یک بازه بسته در اعداد حقیقی باشد. قضیه مقدار میانی ثابت می کند تابع پیوسته $f:[a, b]\to \mathbb R$ د ارای خاصیت مقدار میانی است.

حال قضیه زیر را ببینید:

اگر $f$ یک به یک و دارای خاصیت مقدار میانی باشد آنگاه اکیدا یکنواست.

اما در حالت کلی نمی تواند درست باشد. به عنوان مثال اگر $A=[0,1]\cup [2,3]$ و تابعی در نظر بگیرید که نقطه ی $(0,0)$ را به $(1,1)$ وصل کند و $(2,3)$ را به $(3,2)$ در اینصورت واضح است که تابه یک به یک است و پیوسته ولی اکیدا صعودی یا نزولی نیست(روی یکی از بازه ها اکیدا صعودی و روی یکی از آنها اکیدا نزولی است)

---

ویرایش: برای حالتی که $f:(a, b)\to \mathbb R$ پیوسته و یک به یک باشد باز هم اکیدا یکنواست.

اثبات: فرض کنیم اکیدا یکنوا نباشد یعنی $x< y< z$ در $(a, b)$موجود باشند به طوریکه $f(x)< f(y), f(y)> f(z)$ یا $f(x)> f(y), f(y)< f(z)$. (توجه کنید حالتی که یکنوا باشد ممکن است برای $x< y$ داشته باشیم $f(x)=f(y)$ که متناقض یک به یکی است)

فقط حالت $f(x)< f(y), f(y)> f(z)$ را بررسی میکنیم و حالت دیگر به طور مشابه ثابت می شود. بین $f(x),f(z)$ فقط دو حالت وجود دارد( چون $f(x)=f(z)$ بنابر یک به یکی امکان ندارد) یا $f(x)< f(z)$ که در اینصورت $f(x)< f(z)< f(y)$ و بنابر قضیه مقدار میانی $c\in (x, y)$ موجود است که $f(c)=f(z)$ که با یک به یکی در تناقض است. و اگر $f(x)> f(z)$ باشد در اینصورت چون $f(z)< f(x)< f(y)$ بنابر قضیه مقدار میانی $c\in (y, z)$ موجود است که $f(c)=f(x)$ که باز هم با یک به یکی در تناقض است.

Comments

برای حالتی هم که $a=\infty$ یا $b=\infty$ باز هم به طور مشابه برقرار است یعنی $f:\mathbb R\to \mathbb R$ هم باز به طور مشابه بالا میتوانید اکیدا یکنوایی را ثابت کنید.

---

خیلی خیلی ممنون