نشان دادن ریشه چهارم یا سوم یم عدد روی محور تنها با کمک پرگار و خطکش

Question

چه‌جوری ریشهٔ سوم یا چهارم یک عدد رو روی محور اعداد مشخص کنیم؟ اگر از راه مثلث قائم الزاویه برویم، باید مثلثی بسازیم که مجموع دو ضلع غیر وترآن بشود رادیکال x، تا وتر بشود ریشه چهارم x،حال چجوری این مثلث رو رسم کنیم؟

Answer 1

اندازه‌گیری (یا مشخص کردن) یک عدد حقیقی با پرگار و خط‌کشی که فقط یکای طول بر آن مشخص شده و با آن می‌شود یک پاره‌خط را امتداد داد، در تعداد متناهی ترسیم، با این مسألهٔ جبری هم‌ارز می‌شود که برای میدان حاصل از پیوست کردن آن عدد حقیقی به اعداد گویا روی میدان اعداد گویا یک برج از توسیع‌های متوالی بنویسیم که از $\mathbb{Q}$ شروع و به $\mathbb{Q}(\alpha)$ ختم شود و درجهٔ هر توسیع در این برج کوچکتر یا مساوی ۲ شود. اکنون چون $\sqrt[3]{2}$ چندجمله‌ای کمینش بر $\mathbb{Q}$ درجه‌سه است پس درجهٔ توسیعِ $[\mathbb{Q}\colon\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})]$ برابر ۳ می‌شود با توجه به نکته‌ای که در ابتدا گفتیم، مشخص کردنش بر روی محور اگر فقط پرگار و خط‌کش نامحدود و درازای واحد را داشته‌باشیم در تعداد متناهی مرحله ناممکن است. خیلی‌ها به اشتباه فکر می‌کنند حل‌پذیری چندجمله‌ای با رادیکال از درجهٔ $n$ با مشخص کردن ریشه‌های آن چندجمله‌ای با کمک پرگار و خط‌کش هم‌ارز است، و چون هر چندجمله‌ای با درجهٔ کوچکتر یا مساوی با ۴ حل‌پذیر با رادیکال‌ها است پس ریشه‌های $n$اُم برای $n\leq 4$ همیشه قابل رسم با پرگار و خط‌کش هستند، ولی این تصور نادرست است. مشخص‌شدنی بودن عدد حقیقی با کمک پرگار، خط‌کش نامحدود، اندازهٔ واحد، تعداد متناهی ترسیم یک مسألهٔ هندسی است که معادل جبری‌اش را در بالا گفتیم. مسائل هندسی دیگری نیز هستند مانند تثلیث زاویه و غیره که اینها نیز معادل جبری دارند و در جبر ۲ سابق کارشناسی ریاضی محض و یا مباحث نظریهٔ گالوا بحث می‌شوند، معادل‌های آنها را به دقت بخوانید. اما مثلا در مورد $\sqrt[4]{2}$ توجه کنید که $\sqrt{2}=(\sqrt[4]{2})^2\in\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})$ و داریم: $$\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{Q}(\sqrt{2})\subseteq\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})$$ که درجهٔ دو توسیع آمده در این برج هر دو ۲ هستند. پس $\sqrt[4]{2}$ با شرایط ترسیمیِ ما مشخص‌شدنی است.

Answer 2

برای نمایش ریشه دوم عدد روی محور اعداد

ابتدا و انتهای خط بطول عدد را A و B مینامیم و از سمت B این خط را بطول یک واحد امتداد میدهیم و نقطه بدست آمده را C مینامیم

حال با رسم عمود منصف AC وسط این خط را مشخص میکنیم و O مینامیم

در اینجا یک دایره به مرکز O رسم میکنیم که از نقاط A و C عبور میکند

حال از نقطه B عمودی بر AC رسم میکنیم و از هر دو طرف امتداد میدهیم تا دایره را در نقاط F و E قطع کند

در نتیجه داریم

$$BF.BE=BF^2=1.AB$$

پس BF یا BE ریشه دوم AB میباشند

حال اگر ریشه دوم BF را به همین روش ادامه دهیم ریشه چهارم AB بدست خواهد آمد

و از تعمیم بالا به این نتیجه میرسیم که ریشه $2^n$ هر خطی که بتوان یک واحد افزایش داد قابل رسم است

البته توان nام عدد با همین روش نمایش داده می شود $n \in N$

ولی برای ریشه سوم که همان تضعیف مکعب میباشد تا بحال روشی مطرح نشده است