به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
84 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط alitk
ویرایش شده توسط AmirHosein

چه‌جوری ریشهٔ سوم یا چهارم یک عدد رو روی محور اعداد مشخص کنیم؟ اگر از راه مثلث قائم الزاویه برویم، باید مثلثی بسازیم که مجموع دو ضلع غیر وترآن بشود رادیکال x، تا وتر بشود ریشه چهارم x،حال چجوری این مثلث رو رسم کنیم؟

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط AmirHosein
انتخاب شده توسط alitk
 
بهترین پاسخ

اندازه‌گیری (یا مشخص کردن) یک عدد حقیقی با پرگار و خط‌کشی که فقط یکای طول بر آن مشخص شده و با آن می‌شود یک پاره‌خط را امتداد داد، در تعداد متناهی ترسیم، با این مسألهٔ جبری هم‌ارز می‌شود که برای میدان حاصل از پیوست کردن آن عدد حقیقی به اعداد گویا روی میدان اعداد گویا یک برج از توسیع‌های متوالی بنویسیم که از $\mathbb{Q}$ شروع و به $\mathbb{Q}(\alpha)$ ختم شود و درجهٔ هر توسیع در این برج کوچکتر یا مساوی ۲ شود. اکنون چون $\sqrt[3]{2}$ چندجمله‌ای کمینش بر $\mathbb{Q}$ درجه‌سه است پس درجهٔ توسیعِ $[\mathbb{Q}\colon\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})]$ برابر ۳ می‌شود با توجه به نکته‌ای که در ابتدا گفتیم، مشخص کردنش بر روی محور اگر فقط پرگار و خط‌کش نامحدود و درازای واحد را داشته‌باشیم در تعداد متناهی مرحله ناممکن است. خیلی‌ها به اشتباه فکر می‌کنند حل‌پذیری چندجمله‌ای با رادیکال از درجهٔ $n$ با مشخص کردن ریشه‌های آن چندجمله‌ای با کمک پرگار و خط‌کش هم‌ارز است، و چون هر چندجمله‌ای با درجهٔ کوچکتر یا مساوی با ۴ حل‌پذیر با رادیکال‌ها است پس ریشه‌های $n$اُم برای $n\leq 4$ همیشه قابل رسم با پرگار و خط‌کش هستند، ولی این تصور نادرست است. مشخص‌شدنی بودن عدد حقیقی با کمک پرگار، خط‌کش نامحدود، اندازهٔ واحد، تعداد متناهی ترسیم یک مسألهٔ هندسی است که معادل جبری‌اش را در بالا گفتیم. مسائل هندسی دیگری نیز هستند مانند تثلیث زاویه و غیره که اینها نیز معادل جبری دارند و در جبر ۲ سابق کارشناسی ریاضی محض و یا مباحث نظریهٔ گالوا بحث می‌شوند، معادل‌های آنها را به دقت بخوانید. اما مثلا در مورد $\sqrt[4]{2}$ توجه کنید که $\sqrt{2}=(\sqrt[4]{2})^2\in\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})$ و داریم: $$\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{Q}(\sqrt{2})\subseteq\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})$$ که درجهٔ دو توسیع آمده در این برج هر دو ۲ هستند. پس $\sqrt[4]{2}$ با شرایط ترسیمیِ ما مشخص‌شدنی است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...