چرا عددهای متعالی بوسیلهٔ خط کش و پرگار رسم پذیر نیستند؟

Question

چگونه ثابت می‌شود که عددهای ناجبری (متعالی) مانند $e$ یا $\pi$ را نمی‌توان با کمک تنها پرگار و خط‌کش بر روی محور اعداد حقیقی نمایش داد؟

ابتدا فکر می‌کردم که چون محیط یک دایره با قطر ۱ برابر $\pi$ می‌شود پس این کار ممکن است؛ یعنی یک دایره واحد رسم کنیم و سپس محیط آن را بر روی محور پیاده کنیم.

Comments

@Mobin_Jame این کاری که گفتید رایانه انجام می‌دهد را که با پرگار هم انجام می‌شود! یعنی کشیدن یک دایره با قطر یک. کاری که نمی‌توانید انجام بدهید این است که بوسیلهٔ پرگار و خط‌کش یک خط راست با درازای برابر با درازای محیط این دایره رسم کنید. پس از کشیدن این دایره شما چگونه بوسیلهٔ کمان‌زدن و وصل کردن نقطه‌های بدست‌آمده با کمان‌ها بوسیلهٔ خط‌کش می‌خواهید محیط دایره را بر روی یک خط راست انتقال دهید؟ بعلاوه مرسوم است بگویند «رسم‌پذیری بوسیلهٔ خط‌کش و پرگار»، آیا در مرجع خاصی این را با نام «روش اقلیدس» دیده‌اید؟ دلیل خاصی نمی‌بینم که این کار را به اقلیدس نسبت بدهند.

---

این نوع روش رسم در هندسه اقلیدسی انجام می‌شود(منبع: ویکی‌پدیا)
خب سؤال من هم همین هست که چطور میتوان اثبات کرد چنین چیزی ممکن نیست؟

---

@Mobin_Jame ویکی‌پدیا یک سایت است، انتظار ندارید که کل سایت را نگاه کنیم؟ آدرس صفحهٔ مورد نظر را بگذارید.
گام به گام. پس اول اینکه متوجه شدید که «رایانه» نقش خاصی در شدن یا نشدن ایفا نکرده‌است و بعلاوه اینکه کشیدن یک دایره با محیط $\pi$ شدنی بودن خواستهٔ اصلی مسأله را نتیجه نمی‌دهد، یا هنوز در این دو قسمت ابهام دارید؟

---

منبع: https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B3%D8%A7%D8%AE%D8%AA_%D8%A8%D8%A7_%D8%AE%D8%B7%E2%80%8C%DA%A9%D8%B4_%D9%88_%D9%BE%D8%B1%DA%AF%D8%A7%D8%B1
نه در آن دو قسمت مشکلی ندارم فقط خواستم بگویم که مکان π را روی نمودار میتوان مشخص کرد؛ اما نه در هندسه اقلیدسی. حال چرا در هندسه اقلیدسی نمیتوان؟

---

@Mobin_Jame در صفحهٔ ویکی‌پدیایی که فرستادید هیچ «روش اقلیدسی»ای یافت نشد. دیدن عبارت «هندسهٔ اقلیدسی» علتی بر استفاده شدن عبارت «روش اقلیدسی» نمی‌شود.
اگر با این قسمت‌ها مشکلی ندارید، متن پرسش را ویرایش کنید تا تنها قسمت مشکل‌دار بماند و معلوم شود که مشکل‌تان در قسمت‌های دیگر نیست. دلیلی بر تأکید در هندسهٔ اقلیدسی ندارید چون شما به طور پیش‌فرض اصلا کاری به هندسه‌های دیگر نداشته‌اید. برای نمونه شما در هندسهٔ هذلولوی این کار را کردید که حالا از اینکه در هندسهٔ اقلیدسی نتوانستید متعجب بشوید؟ بعلاوه ترسیم با خط‌کش و پرگار در کل در هر هندسه‌ای مطرح نیست که حالا نیاز به تأکید به هندسهٔ اقلیدسی باشد.
به ویرایشی که بر روی عنوان و متن پرسش‌تان انجام دادم نگاه کنید.