حاصل دقیق آن را میتوان به صورت یک عبارت کسری با رادیکالهای زیاد بدستآورد ولی امری خستهکنندهاست و هیچ پرسش امتحانی و درسیای این را نخواهد خواست بنابراین روشهای عددی و تقریب برای این زاویه بهترین ایده هستند. ولی چگونه میشود عبارت دقیق را بدست آورد را در زیر اشاره میکنیم. پیش از شروع توجه کنید که برای معادلهٔ درجهٔ ۳ فرمول کاردان همچون فرمول دلتایی برای معادلهٔ درجهٔ ۲، ریشههای معادله را بر حسب رادیکال دقیق میدهد، میتوانید به مرجعهای بسیاری که فرمول کاردان برای معادلههای درجهٔ سه را ارائه دادهاند نگاه کنید. در زیر حلکردنهای این معادلهها و دادن عبارتهای رادیکالی را انجام نمیدهم و اگر دوستداشتید خودتان میتوانید جزئیات را کامل کنید.
توجه کنید که متمم ۶۹/۵، ۲۰/۵ است و ۱۲ برابر ۲۰/۵ ۲۰۵ است. ۲۰۵ برابر با نیمصفحه بعلاوهٔ ۲۵ است و ۲۵ برابر با ۴۵ منهای ۲۰ است و ۲۰ یک سوم ۶۰ است. پس نخست سینوس و کسینوس ۲۰ را بدست میآوریم. به یاد آورید که:
$$\begin{array}{l}\cos(60)=\frac{1}{2},\;\sin(60)=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \cos(3x)=4\cos^3(x)-3\cos(x)\\ \sin(3x)=3\sin(x)-4\sin^3(x)\end{array}$$
پس سینوس و کسینوس ۲۰ با فرمول کاردان از دو معادلهٔ چندجملهای درجهٔ سهٔ زیر بدست میآیند.
$$\begin{array}{l}8y^3-6y-1=0\\ -8y^3+6y-\sqrt{3}=0\end{array}$$
پاسخ هر چه هست را به ترتیب با $y_1$ و $y_2$ نشان دهید. اکنون به یاد آورید که:
$$\begin{array}{l}\cos(-x)=\cos(x),\;\sin(-x)=-\sin(x)\\ \cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)\\ \sin(x+y)=\cos(x)\sin(y)+\sin(x)\cos(y)\end{array}$$
بنابراین سینوس و کسینوس ۲۵ برابر میشوند با
$$\cos(25)=\frac{\sqrt{2}}{2}(y_1+y_2),\;\sin(25)=\frac{\sqrt{2}}{2}(y_1-y_2)$$
به یاد آورید که
$$\cos(180+x)=-\cos(x),\;\sin(180+x)=-\sin(x)$$
پس سینوس و کسینوس ۲۰۵ منفی سینوس و کسینوس ۲۵ هستند. اکنون چون $12x=3(4x)$ دوباره از فرمول کاردان و رابطههای سهبرابرکمان استفاده میکنیم و سینوس و کسینوس ۴ برابر ۲۰/۵ را بدست میآوریم. سپس از فرمولهای دوبرابرکمان
$$\begin{array}{l}\cos(2x)=1-2\sin^2(x),\;\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)\end{array}$$
سینوس و کسینوس ۲ برابر ۲۰/۵ را بدست میآوریم و دوباره با تکرار گام پیشین، سینوس و کسینوس خود ۲۰/۵ را بدست میآوریم و سپس با جابجا کردن مقدارهای سینوس و کسینوس ۲۰/۵ مقدار سینوس و کسینوس ۶۹/۵ را در دست داریم.
