چگونه تشخیص دهیم که باید فرمول قضیهٔ بیز Bayes را برای $P(A\mid B)$ بنویسیم یا برای $P(B\mid A)$؟

Question

سلام

در قضیه بیز ما داریم: $P(A|B)$.

نمیشه بین طرفین | یه رابطه علت و معلولی بدست آورد که تشخیص طرفین | در حل سوال ها راحت تر باشه؟ بیشتر مشکل من تو حل سوالا اینه که نمیتونم تشخیص بدم A|B درسته یا B|A. ممنون

Answer 1

یکی از این پرسش‌هایی که در آن ابهام دارید را در ادامهٔ پرسش بیاورید تا پرسش‌تان معنادار شود. متن پرسش‌تان به شکل کنونی که نوشتید نشان‌دهندهٔ عدم درک معنای نمادهاست. درست و نادرست بودن، یک مقدار بولی boolean (bool اسم یک ریاضیدان انگلیسی است ولی یک هم‌ارز فارسی برای مفهوم مورد نظر «ارزش دوگانه» می‌شود) است که به گزاره‌ها داده می‌شود. «نام کاربری شما Mojtaba_yz است» یک گزاره است که ارزش «درست» دارد، نام کاربری من «Jesus» است نیز یک گزارهٔ دیگر است که ارزش «نادرست» دارد. وقتی می‌نویسید $P(A\mid B)$، رویدادِ $A\mid B$ یک گزاره نیست که ارزش درست یا نادرست بگیرد مگر اینکه پس از انجام آزمایش به آن نگاه کنید که آنگاه برای آن $P$ یعنی احتمال دیگر استفاده نمی‌شود چون برایش یا «رخ‌داده‌است» یا «رخ‌نداده‌است» داریم. احتمال پیش از انجام آزمایش بحث می‌شود که در این صورت درست و نادرست نداریم. هر دوی $P(A\mid B)$ و $P(B\mid A)$ قابل بحث و دارای مقدار هستند که می‌توانید محاسبه کنید. و به رابطهٔ علت و معلولی نیز ربطی ندارد، دو چیز که ربطی به هم ندارند را می‌توانید در نظر بگیرید. برای نمونه احتمال اینکه دمای شهر قم ۴۰ درجه شود به شرطی که واکسن covid-19 روز ۱۰ تیر ۱۳۹۹ بدست‌آید. هیچ کدام علت و معلول دیگری نیست. قضیهٔ بیز نیز یک فرمول به شکل $P(A\mid B)$ به تنهایی نیست! قضیهٔ Bayes می‌گوید $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$. هیچ فرضی در مورد ماهیتِ رویدادهای $A$ و $B$ ندارد، هر دو رویداد دلخواهی که بردارید همواره این فرمول برایش درست است (به شرط ناصفر بودن $P(B)$ که کسر آورده‌شده معنادار باشد). احتمالا جملهٔ درست برای پرسشی که شما دارید این است که «چکونه از فرمول Bayes در حل مسأله‌ها استفاده کنم؟». در این صورت پاسخ شما این است که باید ببینید که چه داده‌هایی به شما داده‌اند و چه چیزی مجهول است. برای نمونه اگر به شما $P(A\cap B)$، $P(A)$ را بدهند آنگاه با داشتن فقط این دو مسلما نمی‌توانید با کمک فرمول Bayes مقدارِ $P(A\mid B)$ را بیابید چون $P(B)$ را در مخرج نیاز دارید که بوسیلهٔ دو دادهٔ دیگر قابل محاسبه نیست. پس فقط $P(B\mid A)$ را می‌توانید در اینجا حساب کنید. گاهی هر دوی $P(A\mid B)$ و $P(B\mid A)$ را می‌توانید حساب کنید. در هر صورت، باید به صورت مسأله‌تان نگاه کنید تا ببینید چه چیزی خواسته‌شده‌است یا محاسبهٔ چه چیزی در به جواب رسیدن کمک‌تان می‌کند.