دو متغیر تصادفی مستقل که $P(X+Y=a)=1$، باید متغیر تصادفی ثابت باشند.

Question

گیریم $X,Y$ دو متغیر تصادفی مستقل باشند و $P(X+Y=a)=1$ که $a$ یک مقدار ثابت است. نشان دهید که $X$ و $Y$ هر دو متغیر تصادفی ثابت اند.

Answer 1

نخست حالت گسسته را در نظر می‌گیریم. توجه کنید که زمانی‌که دو متغیر تصادفی گسسته مستقل هستند داریم؛ $$P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)$$ چون $P(X+Y=a)=1$ یعنی برای هر جفتِ $(x,y)$ای که احتمالش ناصفر باشد داریم $x+y=a$. مطمئنا دست‌کم یکی از این جفت‌ها وجود دارد (و گرنه مجموعهٔ رویدادهای مرتبط با متغیرهای تصادفی‌مان تهی می‌شوند). به فرض $(x_1,a-x_1)$ یکی از این زوج‌ها باشد. پس داریم $P(X=x_1)$ و $P(Y=a-x_1)$ ناصفر (پس مثبت اکید) هستند. اگر هیچ زوج دیگری نتوانیم بیابیم آنگاه متغیرهای تصادفی‌مان تک‌رویدادی (متغیر تصادفی ثابت) هستند.

فرض کنید متغیرهای تصادفی‌مان ثابت نباشند. پس باید بتوان یک جفت جدید بیابیم. این جفت نمی‌تواند فقط در یک مؤلفه فرق داشته باشد چون اگر دو نقطه که در رابطهٔ $x+y=a$ صدق می‌کنند، در یک مؤلفه برابر باشند، مجبور هستند در مؤلفهٔ دوم نیز برابر شوند. پس جفت جدید به شکلِ $(x_2,a-x_2)$ است که $x_2\neq x_1$ (به وضوح $a-x_2\neq a-x_1$). اکنون دو چیز که همزمان نمی‌توانند رخ بدهند روی می‌دهند!

از اینجا که $P(X+Y=a)=1$ داریم که $P(X=x_1,Y=a-x_2)=0$ چون $(x_1)+(a-x_2)\neq a$.

از اینجا که دو متغیر تصادفی مستقل هستند و $P(X=x_1)$ و $P(Y=a-x_2)$ هر دو ناصفر هستند، داریم $$P(X=x_1,Y=a-x_2)=P(X=x_1)P(Y=a-x_2)\neq 0$$ پس به تناقض رسیدیم و در نتیجه هیچ نقطهٔ دومی نمی‌توان یافت که از توضیح قبل‌مان برابر با این است که دو متغیر تصادفی‌مان تک‌رویدادی هستند.

اکنون حالت پیوسته. اگر متغیر تصادفیِ $X$ روی بازه‌ای ناصفر باشد و همینطور متغیر تصادفی $Y$ روی بازه‌ای ناصفر باشد آنگاه به دلیل استقلال این دو متغیر، متغیر تصادفی حاصلضربی‌شان باید روی جعبهٔ حاصل از ضرب دکارتی دو بازه نیز ناصفر باشد اما مجموعه‌ای که نقاطش در شرط خطیِ $x+y=a$ صدق کنند نمی‌تواند هیچ جعبه‌ای را دربربگیرد (در واقع اندازه measure اش در صفحه صفر است در حالی که جعبه‌ها اندازهٔ ناصفر دارند). پس $X$ و $Y$ نمی‌توانند متغیر تصادفی پیوسته باشند. و برمی‌گردیم به حالت گسسته که در آن تک‌رویدادی بودنشان را ثابت کردیم.