تابع پخش چگالی یک متغیر تصادفی گسسته با فضای نمونهٔ $\mathbb{N}$ برابر است با $p(x)=a(\frac{1}{3})^x$. مقدار ثابت $a$ را بیابید.

Question

اگر متغیر تصادفی $X$ دارای توزیع چگالی به صورت زیر باشد، آنگاه مقدار ثابت $a$ را بیابید.

$$p(x)=a(\frac{1}{3})^{x}$$

فضای نمونهٔ $X$ یا همان مقدارهای ممکن برای $x$، برابر است با مجموعهٔ اعداد طبیعی؛ $x\in\mathbb{N}=\lbrace 1,2,3,\cdots\rbrace$.

تلاش من: $p(x)= \frac{n(x)}{n(s)} $ در نتیجه $p(x)= \frac{a( \frac{1}{3} )^{x} }{ \infty } $.

Comments

@mary رابطه‌ای که در تلاش‌تان (در ابتدای خط) نوشته‌اید برای متغیرهای تصادفی با فضای نمونهٔ متناهی درست است که هر عضو احتمال یکسانی با عضو دیگر داشته باشد، نه هر متغیر تصادفی گسستهٔ دلخواهی. آیا $\mathbb{N}$ مجموعه‌ای متناهی است؟

Answer 1

باسلام.میدانیم که جمع احتمالات باید عدد یک باشد به ازای تمام مقادیرمتغیر.دراینجا بعد از جا گذاری مقادیرxوفاکتور گیری از a,باید جمع یک تصاعد هندسی نزولی زیر را بدست آوریم.

1/3+1/9+1/27+...

بااستفاده از فرمولs=a/1-qمقدار 1/2 برای جمع سری فوق بدست میاد.

پس داریم : a/2=1 که از آنجا داریم:a=2.