اگر دو متغیر تصادفی X و Y دارای تابع چگالی احتمال f(x,y) = 24xy در بازه داده شده باشند، مطلوب است مقدار P(Y<X | X = 1/3).

Question

اگر دو متغیر تصادفی X و Y دارای تابع چگالی احتمال توام زیر باشند، $ f_{XY}(x,y) =\begin{cases}24xy & 0<x<1 , 0<y<1-x\\0 & O.W\end{cases} $

مطلوب است محاسبه $ P(Y<X | X = \frac{1}{3} ) $

Comments

@AmirHosein
بله جا افتاده بود.
اصلاح شد

Answer 1

فرض $X=\frac{1}{3}$ را اثر دهید. سپس یک متغیر تصادفی تک بعدی با دامنهٔ $[0,\frac{2}{3}]$ دارید و با تابع چگالی‌ای که باید نرمال‌نشده‌اش با $8y$ متناسب است. پس باید ابتدا نرمال شود یعنی بر مقدار انتگرالش بر کل دامنه تقسیم شود. پیشامد $Y<X$ زمانیکه $X=\frac{1}{3}$ است و $0<Y<\frac{2}{3}$ برابر با $0< Y< \min (\frac{1}{3},\frac{2}{3})$. پس $$\frac{\int_0^{\frac{1}{3}}8ydy}{\int_0^{\frac{2}{3}}8ydy}=\frac{1}{4}$$