اگر دو متغیر تصادفی X و Y دارای تابع چگالی احتمال f(x,y) = 24xy در بازه داده شده باشند، مطلوب است مقدار P(Y<X | X = 1/3).

Question

اگر دو متغیر تصادفی X و Y دارای تابع چگالی احتمال توام زیر باشند، $f_{XY}(x,y) =\begin{cases}24xy & 0< x< 1 , 0< y< 1-x\\0 & O.W\end{cases}$

مطلوب است محاسبه $P(Y< X | X = \frac{1}{3} )$

Comments

@AmirHosein
بله جا افتاده بود.
اصلاح شد

Answer 1

فرض $X=\frac{1}{3}$ را اثر دهید. سپس یک متغیر تصادفی تک بعدی با دامنهٔ $[0,\frac{2}{3}]$ دارید و با تابع چگالی‌ای که باید نرمال‌نشده‌اش با $8y$ متناسب است. پس باید ابتدا نرمال شود یعنی بر مقدار انتگرالش بر کل دامنه تقسیم شود. پیشامد $Y< X$ زمانیکه $X=\frac{1}{3}$ است و $0< Y< \frac{2}{3}$ برابر با $0< Y< \min (\frac{1}{3},\frac{2}{3})$. پس

$$\frac{\int_0^{\frac{1}{3}}8ydy}{\int_0^{\frac{2}{3}}8ydy}=\frac{1}{4}$$