میدانیم $y=Log_{b} ^{x} $ هم ارز است با $ b^{y} =x$
ما میتوانیم هر عددی را به هر توان صحیحی برسانیم اما وقتی بخواهیم عددی را به توان اعداد گویا و یا اصم برسانیم مجبوریم پایه را مثبت در نظر بگیریم در واقع تعریف توان گویا و اصم از این نکته استفاده میکنیم که برای هر عدد حقیقی دنباله ای از اعداد گویا که به آن عدد میل می کنند وجود دارد و با تعریف زیر نحوه محاسبه اعداد با توان عد د حقیقی بدست می آید.
$$ a^{x} = \lim_{r \rightarrow x} a^{r} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (r \in Q) $$
در واقع از پیوستگی تابع $f(r)= a^{r} $ استفاده میکنیم. . که این تابع فقط زمانی توسیع پیوسته ای (یکتا است) به تمام اعداد حقیقی دارد که پایه مثبت باشد.
برای درک بهتر ابتدا یک مثال :پایه را برابر $3-$ میگیریم داریم:
$$ -3=(-3) ^{1} =((-3)^{2} )^{ \frac{1}{2} } = \sqrt{(-3)^{2} } = \sqrt{9} =3 $$
که بوضوح غلط است.
پس برای اینکه بتوانیم توانها را مجموعه ی اعداد حقیقی بگیریم پایه را به اعداد مثبت محدود میکنیم
