چرا برای محاسبه تعداد ارقام یک عدد آن را وارد لگاریتم بر مبنای ۱۰ میکنیم؟

Question

چرا برای محاسبه تعداد ارقام عدد a می‌نویسم:

[$log_{10}a]+1$

آیا برای این است که به عنوان مثال می دانیم

$log_{10} 10=1,log_{10}100=2$

پس لگاریتم تمام اعداد دو رقمی بین یک و دو هستند.

Answer 1

به نام خدا

می‌دانیم که هر عدد طبیعی مثل $a$ را می‌توان به صورت مجموعی از توان های $10$ و به صورت زیر نوشت، به طوری که $a_0,a_1,a_2,...,a_k$ همگی اعداد طبیعیِ کوچک تر از $10$ هستند (رابطهٔ یک):

$$a=a_0\cdot10^0+a_1\cdot10^1+a_2\cdot 10^2+\cdot \cdot \cdot+a_k\cdot 10^k$$

از این موضوع می‌توان متوجه شد که $k+1$ نشانگر تعداد ارقام عدد $a$ است، زیرا همهٔ جمله‌های رابطهٔ بالا که قبل از $a_k\cdot 10^k$ قرار دارند از آن کوچک‌تر بوده و مجموع آن‌ها هرگز بزرگتر از $a_k\cdot 10^k$ نخواهد بود. در نتیجه هر بار که عدد $a$ را بر $10$ تقسیم می‌کنیم، یکی از رقم‌های آن را مشخص کرده‌ایم.

همانطور که دیدید، از آنجایی که می‌توانیم هر عدد طبیعی را به فرم رابطهٔ یک و برمبنای $10$ بنویسیم، برای محاسبه تعداد ارقام یک عدد از تقسیم‌های متوالی آن بر عدد $10$ استفاده می‌کنیم. از طرفی با توجه به مفهوم لگاریتم نیز می‌توانیم تعداد مراحل تقسیم یک عدد بر $10$، را بدست آوریم. برای مثال، فرض کنید می‌خواهیم بدانیم در $100$ چند دسته $10$ تایی وجود دارد. این امر دقیقاً مانند عمل تقسیم است که بطور متوالی صورت می‌گیرد:

$${\mathrm{log}_{10}}^{(100)}=2$$

ولی می‌دانیم که تعداد ارقام عدد طبیعی $100$ برابر با $2+1=3$ است. پس بنابراین اگر $a$ عددی طبیعی باشد تعداد ارقام آن برابر است با:

$$\left \lfloor {{\mathrm{log}}_{10}}^{(a)} \right \rfloor +1$$

Comments

@Math.Al  آیا علت اینکه ما به علاوه یک می کنیم این است که هر بار a را تقسیم بر ۱۰ می کنیم رقم های بعد از یکان مشخص می شود و در نتیجه برای محاسبه تعداد باید به علاوه یک کرد چون یکان شمرده نشده؟

---

@Elyas1 بله دقیقاً.

---

بسیار ممنون.

Answer 2

به نام خدا.

فرض کنید که $a$ عددی $n$ رقمی باشد. حال می‌توان نوشت:

$$10^{n-1}\leq a < 10^n \\\Longrightarrow \log_{10}10^{n-1} \leq \log_{10}a< \log_{10}10^n \\\Longrightarrow n-1 \leq \log_{10}a< n \\\Longrightarrow \lfloor\log_{10}a\rfloor=n-1 \\\Longrightarrow {n=\big\lfloor\log_{10}a\big\rfloor+1}$$

Answer 3

به نام خدا.

عدد طبیعی $a$ را به شکل زیر می نویسیم که در آن $a_0,a_1,...,a_n$ اعداد طبیعی کوچکتر از $10$ می باشند. همچنین فرض کنید که $a=10^m$ که $m$ عددی حقیقی و مثبت است:

$a=10^na_n+ 10^{n-1}a_{n-1}+...+a_0=10^m < 10^{n+1} \Longrightarrow m< n+1 \Longrightarrow m-n< 1$

حال می توان نوشت:

$\frac{a}{10^n}= a_{n} + \frac{a_{n-1}}{10} +...+ \frac{a_0}{10^n}=10^{m-n}$

با توجه به تساوی بالا $m-n$ باید بزرگتر مساوی صفر باشد. پس می دانیم که $0 \leq m-n< 1$ است. می دانیم که $m=[m]+p$ است که در آن $0 \leq p< 1$ می باشد. پس می توان نوشت:

$0 \leq [m]-n +p< 1$

توجه کنید که $n$ و $[m]$ اعداد صحیح نامنفی اند. حال اگر $n=0$ باشد، آنگاه $0 \leq m< 1$ خواهد بود که نتیجه می شود که $[m]=n=0$. اگر $n \geq 1$ باشد، آنگاه فرض کنید $[m]-n=k$ باشد که $k$ عددی صحیح است. حال داریم:

$0 \leq p+k< 1$

$0 \leq p< 1 \Longrightarrow k \leq p+k< 1+k$

واضح است که فقط برای $k=0$ دو نامساوی بالا برقرار است پس:

$[m]-n=0 \Longrightarrow [m]=n \Longrightarrow [log_{10}a]=n \Longrightarrow [log_{10}a]+1=n +1$