به نام خدا
میدانیم که هر عدد طبیعی مثل $a$ را میتوان به صورت مجموعی از توان های $10$ و به صورت زیر نوشت، به طوری که $a_0,a_1,a_2,...,a_k$ همگی اعداد طبیعیِ کوچک تر از $10$ هستند (رابطهٔ یک):
$$a=a_0\cdot10^0+a_1\cdot10^1+a_2\cdot 10^2+\cdot \cdot \cdot+a_k\cdot 10^k$$
از این موضوع میتوان متوجه شد که $k+1$ نشانگر تعداد ارقام عدد $a$ است، زیرا همهٔ جملههای رابطهٔ بالا که قبل از $a_k\cdot 10^k$ قرار دارند از آن کوچکتر بوده و مجموع آنها هرگز بزرگتر از $a_k\cdot 10^k$ نخواهد بود.
در نتیجه هر بار که عدد $a$ را بر $10$ تقسیم میکنیم، یکی از رقمهای آن را مشخص کردهایم.
همانطور که دیدید، از آنجایی که میتوانیم هر عدد طبیعی را به فرم رابطهٔ یک و برمبنای $10$ بنویسیم، برای محاسبه تعداد ارقام یک عدد از تقسیمهای متوالی آن بر عدد $10$ استفاده میکنیم. از طرفی با توجه به مفهوم لگاریتم نیز میتوانیم تعداد مراحل تقسیم یک عدد بر $10$، را بدست آوریم. برای مثال، فرض کنید میخواهیم بدانیم در $100$ چند دسته $10$ تایی وجود دارد. این امر دقیقاً مانند عمل تقسیم است که بطور متوالی صورت میگیرد:
$${\mathrm{log}_{10}}^{(100)}=2$$
ولی میدانیم که تعداد ارقام عدد طبیعی $100$ برابر با $2+1=3$ است. پس بنابراین اگر $a$ عددی طبیعی باشد تعداد ارقام آن برابر است با:
$$\left \lfloor {{\mathrm{log}}_{10}}^{(a)} \right \rfloor +1$$