به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
–1 امتیاز
76 بازدید
در دانشگاه توسط Maryam.rahimi1377j
برچسب گذاری دوباره توسط AmirHosein

در هندسه اقلیدسی رسم چهارضلعی منتظمی که مساحت آن برابر با مساحت یک دایره‌ی مفروض باشد،شدنی نیست اما در هندسه هذلولوی شدنی است.چرا؟!

مرجع: کتاب اقلیدسی و نااقلیدسی
توسط AmirHosein
@Maryam.rahimi1377j نام نویسندهٔ کتاب را نیز در مرجع قید کنید. گاها کتاب‌های خیلی زیادی به اسم یکسان وجود دارند.

2 پاسخ

0 امتیاز
توسط AmirHosein

نخست ناممکن بودن مربع‌کردن یک دایره در هندسهٔ اقلیدسی. متن دقیق این پرسش این است: «فرض کنید یک دایره دارید، مساحت آن را بدست آورید و $A$ بنامید. آیا ممکن است با استفاده از خط‌‌‌کش به اندازهٔ کافی بلند (بدون درجه، صرفا برای وصل کردن دو نقطه یا امتداد دادن یک پاره‌خط) و یک پرگار که به اندازهٔ کافی -از نظر درازا- قبل باز شدن باشد (اصطلاحا پرگار ایده‌آل)، یک مربع رسم کرد که مساحتش برابر با $A$ باشد؟» اکنون اگر برای هر دایرهٔ دلخواهی این کار ممکن باشد، می‌گوئیم «مربع‌کردنِ دایره» در هندسهٔ مورد نظر ممکن است و گر نه خیر (پس برای رد کردنش، آوردن یک نمونه که نتوان این کار را کرد کافی است).

دایرهٔ واحد را در نظر بگیرید (با شعاع یک)، داریم $A=\pi$. رسم‌پذیر بودن مربعی با مساحتِ $\pi$ تنها با کمک میله و پرگار ایده‌آل برابر با این است که $\pi$ ریشهٔ یک چندجمله‌ای با ضرایب گویا باشد (پرسش‌های مشابهی که به چنین چیزی ختم می‌شوند مانندِ این پیوند). اما این یعنی عدد $\pi$ جبری است که تناقض با متعالی بودنش دارد.

اینک به سراغ هندسهٔ هذلولوی برویم. در این هندسه مربع نداریم. نزدیک‌ترین شی‌‌ای که داریم چهارگوش (چهاریالی) بانظم (منظم) است. یعنی چهار یال با درازای برابر و چهار گوشهٔ با زاویه‌های برابر دارد. وابسته به اینکه چه نمایشی برای هندسهٔ هذلولوی‌تان انتخاب کنید (نیم‌صفحهٔ بالایی یا دایرهٔ توپُر (دیسک))، یک نمونه از نمایش چهارگوشهٔ نظم‌دار را برایتان در زیر نمایش دادم. enter image description here

یکُم اینکه کجا خوانده‌اید «مربع‌کردن دایره» در هندسهٔ هذلولی همواره شدنی‌است؟ پاسخ منفی است! تعداد چهارگوشه‌ها و دایره‌های هم‌مساحتِ قابل ساخته‌شدن شماراست (شمارای نامتناهی) در حالیکه ناشمارا دایره دارید! بعلاوه حتی زمانیکه یک جفت مناسب برمی‌دارید، روش خاصی برای شروع از دایره‌تان و رسیدن به چهارگوشهٔ نظم‌دارِ هم‌مساحتش هم ارائه نشده‌است.

–1 امتیاز
توسط salar
ویرایش شده توسط salar

چون در هندسه هذلولی ما قادر به نمایش عدد $\pi$ روی خط راست در این محیط میباشیم که این خط راست میتواند در هندسه اقلیدسی یک خم باشد.

ولی در هندسه اقلیدسی درست است که در محیط دایره میتوان $\pi$ را نمایش دهیم ولی نمایش آن روی خط راست این محیط ممکن نیست.

حال اگر $\pi$ را در خط راست داشته باشیم به شکل زیر توجه کنید:

enter image description here

$$AB \times BC=BD \times BE$$

وتر بر قطر عمود است و به دوقسمت مساوی تقسیم شده و قسمتی از قطر که قرمز است به اندازه یک واحد است

حال فرض کنید خط سیاه به اندازه $\pi$ باشد آنگاه $BD=BE$ و آن هم برابر جذر $\pi$ یا ضلع مربع به مساحت $\pi$ میباشد.

$$BD=BE= \sqrt{BC}=\sqrt{\pi}$$

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...