برای x>0 و صحیح نشان دهید: $[ \sqrt{x}+ \sqrt{x+1}+ \sqrt{x+2}]=[ \sqrt{9x+8}] $

Question

برای مقادیر صحیح $x \geq 0$ ثابت کنید: $\lfloor\sqrt{x}+ \sqrt{x+1}+ \sqrt{x+2}\rfloor=\lfloor \sqrt{9x+8}\rfloor$

Comments

لطفا از سلام کردن و موارد غیر ضروری در طرح سوال بپرهیزید. و بجای آن سوال را با جزییات توضیح دهید و تلاش خود برای حل مساله را بنویسید. این مطلب را بخوانید: https://math.irancircle.com/11973

---

برای این که نشان دهیم تساوی بالا برقرار است باید نشان دهیم که عبارت داخل جز صحیح سمت چپ منهای عبارت داخل جز صحیح سمت راست بین منهای یک و یک است. من از مشتق رفتم تا ماکسیمم  مینیمم این عبارت رو بدست بیارم که عبارت خیلی پیچیده می شه! یه جوری باید اثبات کرد که اون نامساوی برقراره

Answer 1

اولا برای $x \neq y$ داریم $x+y< \sqrt{2 x^{2} + 2y^{2} } $ پس

$$ \sqrt{x} + \sqrt{x+1} + \sqrt{x+2} <3 \sqrt{x+1} $$

حالا از طرفی به راحتی با استقراء ( یا هر روش دیگه ای ) داریم

$$ \sqrt{9x+8} <\sqrt{x} + \sqrt{x+1} + \sqrt{x+2} $$

پس

$$ 9x+8 < (\sqrt{x} + \sqrt{x+1} + \sqrt{x+2})^{2} <9x+9 $$

و بنابراین

$$[(\sqrt{x} + \sqrt{x+1} + \sqrt{x+2})^{2}]=9x+8$$

پس

$$[\sqrt{x} + \sqrt{x+1} + \sqrt{x+2}]=[ \sqrt{9x+8} ]$$