روش نوشتن جملهٔ عمومی برای دنباله $\{0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,1,...\}$ با استفاده از جزء صحیح

Question

با سلام

آیا روشی کلی برای نوشتن جملهٔ عمومی برای برای دنبالۀ: $$\{0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,1,...\}$$ با استفاده از جزء صحیح وجود دارد؟

Comments

@m.snb تلاش کردید که با پاسخی که به پرسش دیگرتان داده‌ام حلش کنید؟ https://math.irancircle.com/18434/#a18441

---

اگر $x_n$ جمله عمومی دنباله باشد، داریم
$x_n=[x_n]$. پس سوال شما کامل یا دقیق نیست. ولی یک جواب را در پایین نوشتم.

Answer 1

اگر فرض کنیم: $\ \ \ \ $ $n$-امین یک =$y_n$.

دراین صورت دنبالهٔ $y_n$ به‌صورت زیر است:

$$2,5,9,14,20,\ldots$$ اما فرمول دنبالهٔ $y_n$ را می‌توان با روشی بازگشتی به‌دست آورد که نتیجه می‌شود:

$$y_k=\frac{k(k+3)}{2}.$$

بنابراین اگر $n$ به‌صورت $\frac{k(k+3)}{2}$ باشد، داریم $x_n=1$ و در غیر این صورت $x_n=0$.

حال فرض کنیم $n=\frac{k(k+3)}{2}$ در این صورت $k=\frac{-3+\sqrt{9+8n}}{2}$.

پس $$x_n=\left\lbrace \begin{array}{ll} 1 & \ \ \ \frac{-3+\sqrt{9+8n}}{2}\ \ \ \text{:اگرحاصل عبارت روبرو صحیح باشد} \\ 0 & \ \ \ \frac{-3+\sqrt{9+8n}}{2} \ \ \text{:اگرحاصل عبارت روبرو غیرصحیح باشد} \end{array}\right.$$ وبنابراین یک جواب به صورت زیر است:

$${\Large x_n=\frac{(-1)^{|[\frac{-3+\sqrt{9+8n}}{2}+[-\frac{-3+\sqrt{9+8n}}{2}]]|}+1}{2} }$$

Comments

@AmirHosein
آیا میدانید چگونه در محیط ریاضی میتوان بافونت بزرگتری نوشت؟ من از دستور \big استفاده کردم ولی نشد.

---

@mdgi به ویرایشی که روی فرمول ریاضی نخست‌تان انجام دادن نگاه کنید. پرسش‌های در مورد تایپ ریاضی و LaTeX را می‌توانید به صورت «پرسش» در سایت مطرح کنید و برچسب‌های مناسب مانند «لاتک» و «تایپ-ریاضی» بگذارید. برای دیدن فهرست گزینه‌های ممکن برای اندازه مانند tiny یا huge می‌توانید به پیوند زیر نگاه کنید.
https://www.sascha-frank.com/latex-font-size.html

---

البته؛ ولی کروشه زیاد نذاشته ام. درواقع دوتا براکت است که یکی داخل دیگری است

---

@mdgi
برای کروشه می تونید از دستور زیر استفاده کنید
big[\big]\
اگه دوست دارید بزرگتر بشه از \bigg یا \Big و ... استفاده کنید.