به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
133 بازدید
در دانشگاه توسط A-math-lover (664 امتیاز)
ویرایش شده توسط Math.Al

با سلام و عرض ادب خدمت تمام کاربران و اساتید محترم سایت محفل ریاضی ایرانیان

دنبالۀ زیر را در نظر بگیرید:

$$\{1,3,4,1,3,5,1,3,6,1,3,7,1,3,8,1,3,9,1,3,10,...\}$$

سه جملۀ اولِ این دنباله $1,3,4$ هستند، برای به‌دست آوردن جملهٔ با اندیس مضرب ۳-ِ بعدی، جملۀ بعد از عددِ $3$ را، با عددِ $1$ جمع می‌کنیم. بقیۀ جملات دنباله نیز به همین صورت به‌دست می‌آیند، این الگوی دنباله‌است.

اکنون پرسش اصلی این‌است که چگونه می‌توان با استفاده از توابع جزءصحیح برای این دنباله یک جملۀ عمومی نوشت؟

تلاش انجام‌شده: سعی کردم دنباله را به چند بخش تقسیم کنم و بعد جملهٔ عمومی هربخش را جداگانه بدست آورم ولی متأسفانه بعد از محاسبات زیاد، به نتیجه‌ای نرسیدم.

توسط AmirHosein (18,141 امتیاز)
+2
@Am.s چرا باید از جزءصحیح استفاده شود؟ سوال امتحان دقیقا این را گفته است؟ برای نمونه استفاده از یک تابع سه‌ضابطه‌ای چه اشکالی دارد؟ بعلاوه در خط چهارم به جای «جملهٔ بعد» باید بنویسید «جملهٔ با اندیس مضرب ۳-ِ بعدی». در آخر، «تلاش‌های بسیاری انجام‌شده» پاسخ «چه تلاشی انجام شده‌است؟» نیست.
توسط A-math-lover (664 امتیاز)
+1
@AmirHosein بله حق با شماست، این پرسش اشکالات جزئی‌ای داشت که آن‌هارا برطرف کردم.

1 پاسخ

+4 امتیاز
توسط AmirHosein (18,141 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
 
بهترین پاسخ

خیلی راحت بدون جزءصحیح بنویسید:

$$a_n=\begin{cases} 1 &; & n=3k+1\\ 3 &; & n=3k+2\\ k+3 &; & n=3k \end{cases}$$

که $n,k\in\mathbb{N}$. و این اتفاقا از استفاده از جزءصحیح بهتر است چون برای خواننده روشن‌تر است تا اینکه ضابطهٔ جزءصحیح‌داری را برای خود بررسی و تعبیر کند به چیزی که بالا نوشتیم. ولی به هر حال اگر یک ضابطهٔ جزءصحیح‌دار می‌خواهید می‌توانید با کمک این پاسخ (اینجا کلیک کنید) از همین سایت خیلی سریع به ایدهٔ زیر برسید.

$$a_n=\big([\frac{n}{3}]-[\frac{n-1}{3}]\big)\big([\frac{n}{3}]+3\big)+3\big([\frac{n+1}{3}]-[\frac{n}{3}]\big)+\big([\frac{n+2}{3}]-[\frac{n+1}{3}]\big)$$

در صورت تمایل می‌توانید جمله‌ها را ساده‌تر کنید ولی من به همین شکل رها می‌کنم تا ایدهٔ پشت آن برایتان روشن باشد.

در صورت علاقه در زیر چند خط کدِ Maple که این دنباله را به شکل یک procedure با تعریف جزءِصحیحیِ بالا تعریف می‌کند به همراه درخواستِ اینکه ۲۱ جملهٔ نخست با این procedure را نمایش دهد آورده‌شده‌است.

f := proc(n :: posint) :: posint:
    description "see https://math.irancircle.com/20889/#a20911":
    return( (floor(n/3)-floor((n-1)/3))*(floor(n/3)+3) + 3*(floor((n+1)/3)-floor(n/3)) + (floor((n+2)/3)-floor((n+1)/3)) ):
end proc;

for i from 1 by 1 to 21 do
    printf("%a, ", f(i)):
end do:

خروجی به شکل زیر خواهدبود.

1, 3, 4, 1, 3, 5, 1, 3, 6, 1, 3, 7, 1, 3, 8, 1, 3, 9, 1, 3, 10, 

که ۲۱ جملهٔ آورده‌شده در متن پرسش هستند.

توسط amir7788 (2,659 امتیاز)
+1
@AmirHosein ضابطه دوم و سوم دنباله گویا دنباله
$a_n$  نمی باشه.
توسط AmirHosein (18,141 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
+2
@amir7788 مشکل ضابطهٔ سوم چیست؟ برای نمونه $n=3$ می‌دهد $3k=3$ پس $k=1$ پس $k+3=4$ که جملهٔ چهارم دنبالهٔ آمده در پرسش است.
توسط amir7788 (2,659 امتیاز)
+1
@AmirHosein منظور شما ضابطه سوم می باشه، الان دقت کردم ضابطه سوم مشکل نداره. ضمنا دررابطه آخر بنظرم ضریب 2 باید به 3 تغییر کنه

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...