به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
49 بازدید
در دبیرستان توسط fardinffa

اگر a,b,c>0 بوده و داشته باشیم $( a^{2}+ b^{2}+ c^{2}) ^{2}>2( a^{4}+ b^{4}+ c^{4}) $ نشان دهید که a,b,c می توانند سه ضلع مثلث باشند.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط saderi7
انتخاب شده توسط fardinffa
 
بهترین پاسخ

$$(a^2+b^2+c^2)^2>2(a^4+b^4+c^4) \tag{1}$$ $$(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)>0$$ حال تعریف میکنیم: $$f(a,b,c):=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)$$ و میدانیم که : $$(a^2 + b^2 + c^2)^2 = a^4 + b^4 + c^4 + 2(ab)^2 + 2(bc)^2 + 2(ac)^2$$ در نتیجه خواهیم داشت : $$f(a,b,c)=-a^4-b^4-c^4+2(ab)^2+2(bc)^2+2(ac)^2$$ حال اگر تجزیه شود داریم : $$f(a,b,c)=(a+b-c)(a+b+c)(a+c-b)(b+b-a)$$

حال با توجه به $(1)$ باید داشته باشیم : $$f(a,b,c)=(a+b-c)(a+b+c)(a+c-b)(b+c-a)>0$$ و این یعنی با ید هر عبارت در $f(a,b ,c)$ باید هم علامت باشند . و چون $a,b ,c$ مثبت هستند در نتیجه باید هر عبارت مثبت باشد . و این یعنی :

$$a+b-c > 0 \ \ : \ \ a+b > c $$ $$a+c-b > 0 \ \ : \ \ a+c > b $$ $$ b+c-a > 0 \ \ : \ \ b+c > a $$

در نتیجه با توجه به سه نامساوی بالا $a,b,c$ میتواند ضلع مثلث باشند .

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...