$$(a^2+b^2+c^2)^2>2(a^4+b^4+c^4) \tag{1}$$
$$(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)>0$$
حال تعریف میکنیم:
$$f(a,b,c):=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)$$
و میدانیم که :
$$(a^2 + b^2 + c^2)^2 = a^4 + b^4 + c^4 + 2(ab)^2 + 2(bc)^2 + 2(ac)^2$$
در نتیجه خواهیم داشت :
$$f(a,b,c)=-a^4-b^4-c^4+2(ab)^2+2(bc)^2+2(ac)^2$$
حال اگر تجزیه شود داریم :
$$f(a,b,c)=(a+b-c)(a+b+c)(a+c-b)(b+b-a)$$
حال با توجه به $(1)$ باید داشته باشیم :
$$f(a,b,c)=(a+b-c)(a+b+c)(a+c-b)(b+c-a)>0$$
و این یعنی با ید هر عبارت در $f(a,b ,c)$ باید هم علامت باشند . و چون $a,b ,c$ مثبت هستند در نتیجه باید هر عبارت مثبت باشد . و این یعنی :
$$a+b-c > 0 \ \ : \ \ a+b > c $$
$$a+c-b > 0 \ \ : \ \ a+c > b $$
$$ b+c-a > 0 \ \ : \ \ b+c > a $$
در نتیجه با توجه به سه نامساوی بالا $a,b,c$ میتواند ضلع مثلث باشند .
