اگر $|AxA|=|AyA|$ آنگاه $gAg^{-1}=A$

Question

اگر $A\leq G$ (زیرگروه) و$|G|< \infty$ و به ازای هر $x,y\in G$ داشته باشیم $|AxA|=|AyA|$ آنگاه به ازای هر $g\in G$ داریم $ gAg^{-1}=A $.

Answer 1

میدانیم اگر $B,A\leq G$ (زیرگروه) و$|G|< \infty$ به ازای هر $x\in G$ داریم: $$ |AxB | = | AxB x^{-1} | = \frac{ | A | | xB x^{-1} | }{ | A \bigcap xB x^{-1} | } $$

حال حل مساله فرض کنید $g\in G$ دلخواه باشد. چون $A=AeA $ ( یک هم مجموعه ی مضاعف $A$ است) لذا طبق فرض سوال داریم $ |AgA | =|AeA | =|A | $ و با توجه به فرمول بالا داریم: $$|A | =|AgA |= \frac{ | A | | gA g^{-1} | }{ | A \bigcap gA g^{-1} | } $$ لذا باید $ | A \bigcap gA g^{-1} |= | gA g^{-1} | $ و این زمانی ممکن است که $gA g^{-1} \subseteq A $ باشد و چون این دو مجموعه طبق آنچه گفته شد به یک اندازه عضو دارند لذا با هم برابرند پس برای $g\in G$ دلخواه داریم: $ gAg^{-1}=A $ و حکم ثابت شد.