مشتق تابع $f(x)= x+x+x+ \ldots +x $

Question

مشتق تابع زیر را محاسبه کنید.

$f(x)= x+x+x+ \ldots +x $

تعداد دفعات تکرار $x$، $x$ بار می باشد.

---

تلاش خودم:

من فک می کنم که این تابع همون تابع درجه دوم هست(سهمی) ولی نمیدونم چرا شکم برطرف نمیشه.

Comments

میشه 2x . دقت کنید کنید که از قاعده جمع برای مشتق ها اینجا نمیشه استفاده کرد که نتیجه بگیریم جواب میشه x

---

با سلام. چرا نمیشه استفاده کرد؟

---

@14510545
سلام. در اون قضیه تعداد توابع یک عدد طبیعیه در اینجا شما x رو متغیر فرض کردین بنابراین شرایط قضیه فراهم نیست.

Answer 1

این تابع فقط در اعداد طبیعی تعریف می شود. پس گسسته است و مشتق ندارد.

Comments

@MSS
جوابتون درست نیست. تابع برای هر x حقیقی تعریف شده است.

---

نمی تونه برای حقیق تعریف بشه
چون در اونصورت مثلا تکرار شدن رادیکال 2 بار x بی معناست.

Answer 2

مشکلی که ممکنه در اینجا برای دوستان به وجود اومده باشه اینه که فکرکنن تابع برای مقادیر حقیقی نمیتونه تعریف بشه. برای اینکه ببینیم چرا این تابع برای هر $x$ حقیقی تعریف شده به صورت زیر عمل می کنیم

$$f(x)= \underbrace{x+x+...+x}+(x-[x])x $$

عبارتی که زیرش آکولاد داره $[x]$ بار جمع $x$ می باشد.

بنابراین تابع برای هر $x$ حقیقی تعریف شده است.

در ضمن وقتی در صورت سوال گفته شده که مشتق رو محاسبه کنین یعنی تابع مشتق پذیر است.

بنابراین مشتق برابر $2x$ می باشد.

Comments

خوب الان شما یک تابع دیگه رو معرفی کردید که ضابطه ای متفاوت با تابع اولیه داره

---

@rafig256
اینطور نیست. این همون تابع اول.
وقتی مطلبی رو بیان میکنین دلیلش رو هم بیان کنین. چه تفاوتی با تابع اولیه وجود داره؟

---

برداشت من از سوال اینه که چون سوال دارای سه نقطه هست پس باید الگویی که طبق اون مقادیر سه نقطه مشخص می شه تعیین بشه و طبق توضیحی که در پایین سوال اومده الگو بدین ترتیب است که x معادل است با تعداد تکرار.
و همونطور که گفتم برداشت بنده اینه که تکرار کردن یک متغیر گسسته است. یعنی ما نمی تونیم یک پدیده رو مثلا رادیکال دو مرتبه تکرار کنیم. لذا با توجه به اینکه در صورت سوال هم دامنه معرفی نشده بنده دامنه رو N در نظر می گیرم.

---

@rafig256
با توجه به پاسخی که دادم برداشتتون درست نیست. در ضمن دامنه رو بزرگترین مجموعه ای میگیرن که تابع براش تعریف میشه نه طبق برداشت افراد.

---

در مورد دامنه شما درست می گید. بزرگترین دامنه ممکن در نظر گرفته می شه. حالا من معقدم چون اعداد غیر طبیعی برای لغت "تکرار" محلی از اعراب نداره دامنه این تابع غیر طبیعی نیست.
در مورد برداشت هم من فقط می تونم برداشت خودم رو بنویسم و نوشتم. ادعا هم نکردم لزوما اینی که من می گم درسته. اینجا یه محیط علمیه و اگر مباحثه ای می شه برای اینه که نظرات متفاوت رو بشنویم و یاد بگیریم.
من لحن نگارش شما رو تو یه محیط علمی نمی پسندم. (البته این هم برداشت شخصی بنده است)
در مورد مساله هم من بیشتر مطالعه می کنم و اگر به نتیجه قطعی رسیدم همینجا اعلام می کنم.

---

@rafig256
نکته دیگه ای که میتونم بگم این که حتی اگه فرض کنیم تابع روی یک مجموعه گسسته تعریف شده بازهم به طور خاص تابع پیوسته و اینکه گفته بشه گسسته پس مشتق نداره نادرسته.

دوست عزیز وقتی شما مطلبی میگید که برای رادیکال بی معناست و ... و پاسخی میبینید که اون رو نقض میکنه یا باید پاسخ رو قبول کنین یا اینکه برای ردش دلایل ریاضی بیارین نه اینکه بگین من اینطور برداشت میکنم و ... در محیط های علمی باید با دلیل و برهان بحث کنیم نه چیز دیگه ای. اگه فردا روزی شما یا دلیل ریاضی بگین که استدلال بالا غلطه من قبول میکنم و میگم اشتباه نوشتم راه حل رو و ایرادی هم به این موضوع وارد نیست. موفق باشین.

---

من تحقیق کردم و از اساتیدم پرسیدم. مثالهایی رو مشاهده کردم که در اونها عبارت "بار" با معنای تکرار شامل اعداد حقیقی هم می شده. از اینرو صحبت های @kazomano رو تایید می کنم و بنابراین تابع پیوسته، مشتق پذیر و دارای مشتق 2x است.
خوشحالم تو یه فضایی قرار گرفتم که بستر یادگیری رو فراهم کرده.

---

@kazomano آقای @rafig۲۵۶ درست می‌گویند شکلی که در متن پرسش آمده‌است با شکلی که شما در پاسخ‌تان آورده‌اید یکی نیست مگر اینکه در متن قرارداد شود که منظور از نوشتنِ $x+\cdots+x$ به تعداد $x$ بار عبارت معرفی‌شده توسط شما است، در غیر اینصورت نوشتنِ $x+\cdots+X$ زمانیکه تعداد جمع‌وندها عددی طبیعی نیست، نامناسب است (مگر به شرط نوشتن دقیق منظور حداقل یک بار در متن پیش از استفاده از آن). بهتر است منبع درج‌شده نگاه شود، بعلاوه دلیلی ندارد هر متن چاپ‌شده‌ای خالی از اشتباه باشد.
به هر حال نماد آمده در پرسش به صورت خودکار معنای نماد شما را نمی‌دهد.
اگر دامنه گسسته باشد، به جای مشتق باید به تفاضل بسنده کنید که مطالب time scale و غیره بیشتر مرتبط می‌شود تا ریاضی عمومی یک رشتهٔ ریاضی.
نتیجه‌گیری آخر من این است که اگر واقعا متن پرسش به این شکل و بدون توضیح بیشتری در کتاب آمده‌شده‌باشد، نویسندهٔ کتاب در نوشتن متن پرسش کوتاهی یا بی‌دقتی داشته‌است.