فرض کنیم هر کدام از اضلاع مثلث به $n$ قسمت مساوی تقسیم شده باشند و طول کوچکترین مثلث متساویالاضلاع ایجاد شده رو برابر یک در نظر می‌گیریم. ابتدا مثلث‌های که رأس آن‌ها رو به بالاست را حساب می‌کنیم.
حالت اول:
مثلث‌های که رأس آن‌ها، رأس بالای مثلث اصلی باشد. تعداد مثلث‌های ایجاد شده با طول یک، دو،
$\ldots$
و $n$ هر کدام برابر یک می‌باشد. لذا تعداد کل مثلث‌ها با رأس مثلث اصلی برابر:
$$n=1\times(n+1-1)$$
است.
حالت دوم:
مثلث‌های که رأس بالایی آن‌ها رو اولین خط افقی قرار دارد. این تعداد برای یک رأس برابر $n-1$ می‌باشد. چون دو رأس روی این این خط قرار دارد لذا تعداد کل مثلث‌ها برای این خط افقی برابر:
$$2(n-2)=2(n+1-2)$$
است.
حالت $k$ام:
و به همین ترتیب برای $k$-مین خط افقی داریم: تعداد رأس‌های روی این خط برابر $k$ است و تعداد مثلث ایجاد شده برای یک رأس برابر؛ $n+1-k$ می‌باشد. لذا تعداد کل مثلث‌ها برابر:
$$k(n+1-k)$$
است. حدود تغییرات $k$ برابر:
$k=1, 2, 3, \ldots, n$
می‌باشد. بنابراین تعداد کل مثلث‌ها که رأس آن‌ها رو به بالاست، برابر فرمول زیر است.
$ \begin{align}
&\sum_{k=1}^{n}k(n+1-k)=(n+1)\sum_{k=1}^{n}k-\sum_{k=1}^{n}k^2\\
&=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}=\genfrac{(}{)}{0pt}{}{n+2}{3}
\end{align} $
برای به‌دست آوردن تعداد مثلث‌های که رأس آن‌ها رو به پایین است. با توجه به شکل برای اولین خط افقی هیچ مثلثی تشکیل نمی‌شود.
برای دومین خط افقی یک مثلث تشکیل می‌شود
برای سومین خط افقی، دو رأس؛ هر کدام یک مثلث تشکیل می‌دهند
برای چهارمین خط افقی، دو رأس؛ هر کدام یک مثلث، و یک رأس؛ دو مثلث با طول یک و دو تشکیل می‌دهد.
اگر $f(k)$ تعداد مثلث‌های تشکیل شده برای $k$مین خط افقی باشد. آن‌گاه داریم:
$\begin{align}
&k=1 \Longleftrightarrow f(1)=0\\
&k=2 \Longleftrightarrow f(2)=1=2\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{2}{2}\rfloor}j-\lfloor \frac{2}{2}\rfloor\\
&k=3 \Longleftrightarrow f(3)=1+1=2\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{3}{2}\rfloor}j\\
&k=4 \Longleftrightarrow f(4)=1+2+1=2\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{4}{2}\rfloor}j-\lfloor \frac{4}{2}\rfloor\\
&k=5 \Longleftrightarrow f(5)=1+2+2+1=2\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{5}{2}\rfloor}j\\
&k=6 \Longleftrightarrow f(6)=1+2+3+2+1=2\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{6}{2}\rfloor}j-\lfloor \frac{6}{2}\rfloor\\
&k=7 \Longleftrightarrow f(7)=1+2+3+3+2+1=2\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{7}{2}\rfloor}j\\
&k=8 \Longleftrightarrow f(8)=1+2+3+4+3+2+1=2\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{8}{2}\rfloor}j-\lfloor \frac{8}{2}\rfloor\\
&\ldots\\
&k=2n \Longleftrightarrow f(2n)=1+2+\ldots+n+(n-1)+\ldots+2+1=2\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{k}{2}\rfloor}j-\lfloor \frac{k}{2}\rfloor\\
&k=2n+1 \Longleftrightarrow f(2n+1)=1+2+\ldots+n+n+\ldots+2+1=2\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{k}{2}\rfloor}j
\end{align} $
اگر $n$ عددی زوج ($n=2m$) باشد. آن‌گاه تعداد مثلث‌ها برابر است با:
$$ \begin{align}
&f(1)+f(2)+f(3)+\ldots+f(2m)\\
&=0+\left[2\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{2}{2}\rfloor}j-\lfloor \frac{2}{2}\rfloor \right]+\left[2\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{3}{2}\rfloor}j \right]+\ldots+\left[2\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{k}{2}\rfloor}j-\lfloor \frac{k}{2}\rfloor\right]\\
&=2\sum_{i=1}^{2m}\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{k}{2}\rfloor} j-(1+2+\ldots+m)\\
&=\sum_{i=1}^{2m}\left[\lfloor\frac{k}{2}\rfloor\left(\lfloor\frac{k}{2}\rfloor+1\right)\right]-\frac{m(m+1)}{2}\\
&=0+(1\times2)+(1\times 2)+(2\times3)+(2\times3)+\ldots\\
&+(m\times(m-1))+(m\times(m-1))+(m\times(m+1))-\frac{m(m+1)}{2}\\
&=2\sum_{i=1}^{m-1}i(i+1)+\frac{m(m+1)}{2}\\
&=2\left[\sum_{i=1}^{m-1}i^2+\sum_{i=1}^{m-1}i \right]+\frac{m(m+1)}{2}\\
&=\frac{m(m+1)(4m-1)}{6}\\
&=\frac{n(n+2)(2n-1)}{24}
\end{align}$$
اگر $n$ عددی فرد $(n=2m-1)$ باشد. آن‌گاه تعداد مثلث‌ها برابر است با:
$$\begin{align}
&f(1)+f(2)+f(3)+\ldots+f(2m-1)\\
&=2\sum_{i=1}^{2m-1}\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{k}{2}\rfloor} j-\left((m-1)+(m-2)+\ldots+2+1\right)\\
&=\sum_{i=1}^{2m-1}\left[\lfloor\frac{k}{2}\rfloor\left(\lfloor\frac{k}{2}\rfloor+1\right)\right]-\frac{m(m-1)}{2}\\
&=2\sum_{i=1}^{m-1}i(i+1)-\frac{m(m-1)}{2}\\
&=\frac{m(m-1)(4m+1)}{6}\\
&=\frac{(n+1)(n-1)(2n+3)}{24}
\end{align}$$
نتیجه
در نتیجه تعداد کل مثلث‌های تشکیل یافته (همه مثلث‌ها با رأس بالا و پایین) برابر است با:
اگر $n$ زوج باشد:
$\begin{align}
&\genfrac{(}{)}{0pt}{}{n+2}{3}+\frac{n(n+2)(2n-1)}{24}\\
&=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}+\frac{n(n+2)(2n-1)}{24}\\
&=\frac{1}{8}(2n^3+5n^2+2n)
\end{align}$
اگر $n$ فرد باشد. آن‌گاه:
$ \begin{align*}
&\genfrac{(}{)}{0pt}{}{n+2}{3}+\frac{(n+1)(n-1)(2n+3)}{24}\\
&=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}+\frac{(n+1)(n-1)(2n+3)}{24}\\
&=\frac{1}{8}(2n^3+5n^2+2n-1)
\end{align*}$
نکته:
اگر $n$ زوج باشد. آن‌گاه:
$n=2\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$.
اگر $n$ فرد باشد. آن‌گاه:
$n-1=2\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$.
در نهایت، تعداد کل مثلث‌ها از رابطه
$$g(n)=\frac{1}{8}(2n^3+5n^2+n+2\lfloor\frac{n}{2}\rfloor)$$
به‌دست می‌آید.
در پیوست عنوان سوال داریم:
$n=3$. لذا خواهیم داشت:
$g(3)=13$
تکمیل:
نماد جزء‌صحیح یا همان تابع کف را با نماد
$\lfloor.\rfloor$
نمایش داده‌ام.
