به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
39,843 بازدید
در دبیرستان توسط rezasalmanian (872 امتیاز)
ویرایش شده توسط admin

تعداد مثلث ها در یک شبکه مثلثی چه طور محاسبه می شود؟enter image description here

مرجع: ریاضیات پیشرفته سوم راهنمایی
توسط rezasalmanian (872 امتیاز)
ویرایش شده توسط admin
آقای عباس زاده فرمولی کشف کردکه کامل می باشد.

3 پاسخ

+3 امتیاز
توسط رها (1,165 امتیاز)
ویرایش شده توسط fardina

در یک مثلث متساوی الاضلاع,تعداد مثلث های متساوی الاضلاع کوچک ایجاد شده در آن به اندازه ی $n^2$ می باشد که $n$ تعداد یال هاییست که روی ضلع مثلث اصلی ایجاد شده است.مثلا در مثلث رسم شده در بالا تعداد مثلث های کوچک بوجود آمده در مثلث اصلی $3^2=9$ می باشد.


ویرایش بعد از دیدگاه کاربران:

تعداد $9$ مثلث کوچک و مثلث های (1و2و3و4) و (2و5و6و7) و (4و7و8و9) و با خود مثلث بزرگ هم کلا 13 مثلث داریم.

enter image description here

توسط رها (1,165 امتیاز)
+2
درحقیقت شما پاسخ درست و کامل رو نوشتید.پاسخ شما باید ثبت بشه.
توسط rezasalmanian (872 امتیاز)
ویرایش شده توسط rezasalmanian
از شماتشکر
توسط rezasalmanian (872 امتیاز)
ویرایش شده توسط rezasalmanian
رابطه کاملی است
توسط amirneo98 (1 امتیاز)
@erfanm متغیر i توی فورمولتون چیه؟
توسط erfanm (13,856 امتیاز)
I یک اندیس است
بیانگر متغییر خاسی نیست
+2 امتیاز
توسط Vali Soltani Masih (318 امتیاز)
ویرایش شده توسط Vali Soltani Masih

فرض کنیم هر کدام از اضلاع مثلث به $n$ قسمت مساوی تقسیم شده باشند و طول کوچکترین مثلث‌ متساو‌ی‌الاضلاع ایجاد شده رو برابر یک در نظر می‌گیریم. ابتدا مثلث‌های که رأس آن‌ها رو به بالاست را حساب می‌کنیم.

حالت اول:

مثلث‌های که رأس آن‌ها، رأس بالای مثلث اصلی باشد. تعداد مثلث‌های ایجاد شده با طول یک، دو، $\ldots$ و $n$ هر کدام برابر یک می‌باشد. لذا تعداد کل مثلث‌ها با رأس مثلث اصلی برابر: $$n=1\times(n+1-1)$$ است. حالت دوم:

مثلث‌های که رأس بالایی آن‌ها رو اولین خط افقی قرار دارد. این تعداد برای یک رأس برابر $n-1$ می‌باشد. چون دو رأس روی این این خط قرار دارد لذا تعداد کل مثلث‌ها برای این خط افقی برابر: $$2(n-2)=2(n+1-2)$$ است.

حالت $k$ام:

و به همین ترتیب برای $k$-مین خط افقی داریم: تعداد رأس‌های روی این خط برابر $k$ است و تعداد مثلث ایجاد شده برای یک رأس برابر؛ $n+1-k$ می‌باشد. لذا تعداد کل مثلث‌ها برابر: $$k(n+1-k)$$ است. حدود تغییرات $k$ برابر: $k=1, 2, 3, \ldots, n$ می‌باشد. بنابراین تعداد کل مثلث‌ها که رأس آن‌ها رو به بالاست، برابر فرمول زیر است.

$ \begin{align} &\sum_{k=1}^{n}k(n+1-k)=(n+1)\sum_{k=1}^{n}k-\sum_{k=1}^{n}k^2\\ &=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}=\genfrac{(}{)}{0pt}{}{n+2}{3} \end{align} $

برای به‌دست آوردن تعداد مثلث‌های که رأس‌ آن‌ها رو به پایین است. با توجه به شکل برای اولین خط افقی هیچ مثلثی تشکیل نمی‌شود.

برای دومین خط افقی یک مثلث تشکیل می‌شود

برای سومین خط افقی، دو رأس؛ هر کدام یک مثلث تشکیل می‌دهند

برای چهارمین خط افقی، دو رأس؛ هر کدام یک مثلث، و یک رأس؛ دو مثلث با طول یک و دو تشکیل می‌دهد.

اگر $f(k)$ تعداد مثلث‌های تشکیل شده برای $k$مین خط افقی باشد. آن‌گاه داریم:

$\begin{align} &k=1 \Longleftrightarrow f(1)=0\\ &k=2 \Longleftrightarrow f(2)=1=2\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{2}{2}\rfloor}j-\lfloor \frac{2}{2}\rfloor\\ &k=3 \Longleftrightarrow f(3)=1+1=2\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{3}{2}\rfloor}j\\ &k=4 \Longleftrightarrow f(4)=1+2+1=2\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{4}{2}\rfloor}j-\lfloor \frac{4}{2}\rfloor\\ &k=5 \Longleftrightarrow f(5)=1+2+2+1=2\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{5}{2}\rfloor}j\\ &k=6 \Longleftrightarrow f(6)=1+2+3+2+1=2\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{6}{2}\rfloor}j-\lfloor \frac{6}{2}\rfloor\\ &k=7 \Longleftrightarrow f(7)=1+2+3+3+2+1=2\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{7}{2}\rfloor}j\\ &k=8 \Longleftrightarrow f(8)=1+2+3+4+3+2+1=2\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{8}{2}\rfloor}j-\lfloor \frac{8}{2}\rfloor\\ &\ldots\\ &k=2n \Longleftrightarrow f(2n)=1+2+\ldots+n+(n-1)+\ldots+2+1=2\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{k}{2}\rfloor}j-\lfloor \frac{k}{2}\rfloor\\ &k=2n+1 \Longleftrightarrow f(2n+1)=1+2+\ldots+n+n+\ldots+2+1=2\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{k}{2}\rfloor}j \end{align} $

اگر $n$ عددی زوج ($n=2m$) باشد. آن‌گاه تعداد مثلث‌ها برابر است با: $$ \begin{align} &f(1)+f(2)+f(3)+\ldots+f(2m)\\ &=0+\left[2\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{2}{2}\rfloor}j-\lfloor \frac{2}{2}\rfloor \right]+\left[2\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{3}{2}\rfloor}j \right]+\ldots+\left[2\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{k}{2}\rfloor}j-\lfloor \frac{k}{2}\rfloor\right]\\ &=2\sum_{i=1}^{2m}\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{k}{2}\rfloor} j-(1+2+\ldots+m)\\ &=\sum_{i=1}^{2m}\left[\lfloor\frac{k}{2}\rfloor\left(\lfloor\frac{k}{2}\rfloor+1\right)\right]-\frac{m(m+1)}{2}\\ &=0+(1\times2)+(1\times 2)+(2\times3)+(2\times3)+\ldots\\ &+(m\times(m-1))+(m\times(m-1))+(m\times(m+1))-\frac{m(m+1)}{2}\\ &=2\sum_{i=1}^{m-1}i(i+1)+\frac{m(m+1)}{2}\\ &=2\left[\sum_{i=1}^{m-1}i^2+\sum_{i=1}^{m-1}i \right]+\frac{m(m+1)}{2}\\ &=\frac{m(m+1)(4m-1)}{6}\\ &=\frac{n(n+2)(2n-1)}{24} \end{align}$$

اگر $n$ عددی فرد $(n=2m-1)$ باشد. آن‌گاه تعداد مثلث‌ها برابر است با:

$$\begin{align} &f(1)+f(2)+f(3)+\ldots+f(2m-1)\\ &=2\sum_{i=1}^{2m-1}\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{k}{2}\rfloor} j-\left((m-1)+(m-2)+\ldots+2+1\right)\\ &=\sum_{i=1}^{2m-1}\left[\lfloor\frac{k}{2}\rfloor\left(\lfloor\frac{k}{2}\rfloor+1\right)\right]-\frac{m(m-1)}{2}\\ &=2\sum_{i=1}^{m-1}i(i+1)-\frac{m(m-1)}{2}\\ &=\frac{m(m-1)(4m+1)}{6}\\ &=\frac{(n+1)(n-1)(2n+3)}{24} \end{align}$$

نتیجه

در نتیجه تعداد کل مثلث‌های تشکیل یافته (همه مثلث‌ها با رأس بالا و پایین) برابر است با:

اگر $n$ زوج باشد:

$\begin{align} &\genfrac{(}{)}{0pt}{}{n+2}{3}+\frac{n(n+2)(2n-1)}{24}\\ &=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}+\frac{n(n+2)(2n-1)}{24}\\ &=\frac{1}{8}(2n^3+5n^2+2n) \end{align}$

اگر $n$ فرد باشد. آن‌گاه:

$ \begin{align*} &\genfrac{(}{)}{0pt}{}{n+2}{3}+\frac{(n+1)(n-1)(2n+3)}{24}\\ &=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}+\frac{(n+1)(n-1)(2n+3)}{24}\\ &=\frac{1}{8}(2n^3+5n^2+2n-1) \end{align*}$

نکته:

اگر $n$ زوج باشد. آن‌گاه: $n=2\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$. اگر $n$ فرد باشد. آن‌گاه: $n-1=2\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$.


در نهایت، تعداد کل مثلث‌ها از رابطه $$g(n)=\frac{1}{8}(2n^3+5n^2+n+2\lfloor\frac{n}{2}\rfloor)$$ به‌دست می‌آید.


در پیوست عنوان سوال داریم: $n=3$. لذا خواهیم داشت: $g(3)=13$

تکمیل: نماد جزء‌صحیح یا همان تابع کف را با نماد $\lfloor.\rfloor$ نمایش داده‌ام.

توسط rezasalmanian (872 امتیاز)
تشکر وافر از  شمادانشمندان این مرز و بوم لطفا فرمول نهایی را با یک مثال عددی نشان دهید.
توسط Vali Soltani Masih (318 امتیاز)
برای شکل پیوست شده در سوال، n=3 می‌باشد. با جایگذاری: تعداد کل مثلث‌های متساوی‌الاضلاع تولید شده برابر ۱۳ خواهد شد.
توسط rezasalmanian (872 امتیاز)
نمایش از نو توسط rezasalmanian
با عرض پوزش قسمت آخر فرمول[  n/2  ] 2 منظور چیست؟
توسط Vali Soltani Masih (318 امتیاز)
نماد جزء‌صحیح یا همان تابع کف می‌باشد.
توسط rezasalmanian (872 امتیاز)
سپاس از شما
+1 امتیاز
توسط kazomano (2,561 امتیاز)

$n=1 \rightarrow 1$

$n=2 \rightarrow 5$

به همین ترتیب

$n=8 \rightarrow 170 $

$1,5,13,27,48,78,118,170$

$4,8,14,21,30,40,52$

$ 4,6,7,9,10,12 $

$2,1,2,1,2$

این طرح تفاضلی چون 2و1 داره تکرار میشه پیشنهاد میکنه که برای حالت زوج و فرد دو تا فرمول داریم

برای حالت زوج

$n \leadsto 1 , 2 , 3 , 4 $

$2n \leadsto 2 , 4 , 6 , 8 $

$5 , 27 , 78 , 170$

حالا با استفاده از فرمول درونیابی لاگرانژ داریم $f(2n)=5 \frac{(n-2)(n-3)(n-4)}{(1-2)(1-3)(1-4)}+ 27 \frac{(n-1)(n-3)(n-4)}{(2-1)(2-3)(2-4)}+ 78 \frac{(n-1)(n-2)(n-4)}{(3-1)(3-2)(3-4)}+ 170 \frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{(4-1)(4-2)(4-3)}= \frac{1}{2}(4 n^{3} +5 n^{2} +n ) $ برای حالت فرد به همین ترتیب $f(2n+1)= \frac{1}{2}(4 n^{3} +11 n^{2} +9n+2) $


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...