P نقطه ای در مربع ABCD است به طوری که مثلث PAB متساوی اساقین است

Question

P نقطه ای داخل مربع ABCD است که زاویه PAB=PBA=15 است.(مثلث PAB متساوی اساقین است و زاویه راس ان ۱۵۰ درجه است) ثابت کنید مثلث PCD متساوی الاضلاع است.

Answer 1

برای حل مسئله فقط به کمک همنهشتی

راه حل: دو مثلث دیگر همنهشت با PAB روی اضلاع BC و AD رسم میکنیم.

نقاط Q و O را مانند P داخل مربع مشخص میکنیم بطوریکه زوایای ODA و OAD و QCB و QBC همگی برابر 15 درجه باشند.

1.در نتیجه بنا به حالت دو زاویه و ضلع بین آنها 3 مثلث PAB و QBC و OAD باهم همنهشتند

حال نقاط Q و O را به P وصل میکنیم و چون از زاویه قائمه دو تا 15 درجه کم کنیم زاویه باقی مانده 60 درجه میباشد که زوایای OAP=PBQ=60 #

از 1 و # نتیجه میشود دو مثلث OAP و PBQ بنابر دو ضلع و زاویه بین آنها هم نهشت و هر دو متساوی الاضلاع هستند *

حال نقاط D و C را به P وصل میکنیم

از * و 1 نتیجه میشود بنا بر حالت دو ضلع و زاویه بین آنها 5 مثلث OPD و PQC و PAB و OAD و QBC همنهشتند

درنتیجه AB=PD=PC=BC=AD و چون شکل مربع را داریم پس DC را نیز به این تساوی ها اضافه میکنیم و از DC=PD=PC نتیجه میشود مثلث PCD متساوی الاضلاع هست.

Answer 2

ابتدا برای مثلث PAB ارتفاع $ h_{p} $ را رسم میکنیم و با استفاده از. $tan15=tan(45-30)= \frac{ h_{p} }{ \frac{a}{۲} } $

طول آن را بدست می آوریم $tan(45-30) = \frac{tan45-tan30}{1+tan45tan30} = \frac{3- \sqrt{3} }{3+ \sqrt{3} }= \frac{2 h_{p} }{a} $

صورت و مخرج را در $(3- \sqrt{3}) $ ضرب میکنیم :

$ \frac{(3- \sqrt{3})^{2} }{6} = \frac{2- \sqrt{3} }{2} = \frac{ h_{p} }{a} $

درنتیجه $ h_{p} = \frac{2-\sqrt{3}}{2} a$

حال اگر این ارتفاع را از ضلع مربع کم کنیم ارتفاع مثلث PCD از راس P به ضلع CDبدست می آید

$ h_{CD} =a- \frac{2-\sqrt{3}}{2} a = \frac{ \sqrt{3} }{2} a$

از همنهشتی دو مثلث PAD وPBC بنا بحالت دو ضلع و زاویه بین آنها نتیجه میشود دو زاویه ADP=PCB پس متمم هایشان نیز برابرند PDC=PCD مثلثهای دو طرف$ h_{CD} $ نیز همنهشتند پس این ارتفاع ضلع CD را به دو قسمت مساوی تقسیم میکند $ tan(PCD)= \frac{ \frac{a \sqrt{3} }{2} }{ \frac{a}{2} } = \sqrt{3} $

درنتیجه زوایای PCD و PDC برابر60 درجه میباشند پس مثلث PCD یک مثلث متساوی الاضلاع میباشد

Comments

با تشکر از شما.اما اگه کسی از طریق هم نهشتی یا تشابه بتونه حل کنه ممنون میشم به اشتراک بزاره