در مثلث ABC ثابت کنید A وسط XY است.

Question

M و N نقاطی به ترتیب روی اضلاع AC و AB از مثلث ABC است به طوری که BC موازی با MN باشد. خطی از A موازی باضلع BC رسم میکنیم تاامتداد CN و BM را به ترتیب در X و Y قطع کند. ثابت کنید A وسط XY است.

Answer 1

ابتدا از نقطه $N$ عمود بر $MN$ رسم میکنیم بطوری که امتداد آن ضلع $XY$ را در نقطه $H_{1}$ و ضلع $BC$ را در نقطه $H_{2}$ قطع کند

چون 3 خط $XY,MN,BC$ موازی هستند و $H_{1}H_{2}$ بر یکی از آنها عمود هست در نتیجه بر همه آنها عمود هست (میتوان اثبات کرد)

و همینطور از نقطه $M$ عمود بر $MN$ رسم میکنیم بطوریکه امتداد آن ضلع $XY$ را در نقطه $H_{4}$ و ضلع $CB$ را در نقطه $H_{3}$ قطع کند

چون 3 خط $XY,MN,BC$ موازی هستند و $H_{4}H_{3}$ بر یکی از آنها عمود هست در نتیجه بر همه آنها عمود هست

تمام تشابه ها به دلیل موازی بودن 3 ضلع و زوایای برابر انتهای خطوط بنا بر تساوی زوایا میباشد

دو مثلث CNB و ANX متشابهند، پس:

$$ \frac{AX}{CB} = \frac{NH_{1}}{NH_{2}} $$

و دو مثلث CMB و AMY متشابهند، پس:

$$ \frac{AY}{CB} = \frac{MH_{4}}{MH_{3}} $$

چون دو چهار ضلعی$ MNH_{1}H_{4}$ و$ MNH_{2}H_{3} $مستطیل هستند، پس

$$MH_{3}=NH_{2}, MH_{4}=NH_{1}$$

در نتیجه:

$$ \frac{MH_{4}}{MH_{3}} = \frac{NH_{1}}{NH_{2}} $$ $$ \Longrightarrow \frac{AX}{CB} = \frac{AY}{CB} $$ $$ \Longrightarrow AX=AY$$

در نتیجه A فاصله اش از X و Y برابر است

و این یعنی A وسط XY است.

Answer 2

درمثلث ABCباتوجه قضییه تالس $ \frac{NB}{AB}=\frac{MC}{AC} $

درمثلثABYباتوجه قضییه تالس $ \frac{NB}{AB}=\frac{MN}{AY} $

درمثلثABXباتوجه قضییه تالس $ \frac{MC}{AC}=\frac{MN}{AX} $

ازاین سه تساوی نتیجه می شود $ \frac{MN}{AX}=\frac{MN}{AY} $ پس $AX=AY $ لذا Aوسط XY است.

Comments

kaz brekker@ پاسخ را بررسی کنید