درمدول های یکدست $(N _{1} \cap N _{2} ) \otimes M=(N _{1} \otimes M) \cap (N _{2} \otimes M)$

Question

فرض کنیدR.M-مدول چپ وR.N-مدول راست باشد.N1وN2رانیززیرمدول هایی ازNبگیرید .ثابت کنیداگرMیکدست باشدآن گاه

$(N _{1} \cap N _{2} ) \otimes M=(N _{1} \otimes M) \cap (N _{2} \otimes M)$

Answer 1

بدون کاستن از کلیت مساله فرض کنید که $N _{1} +N _{2} =N$ باشد. قرار می دهیم $X=(N _{1} \otimes M) \cap (N _{2} \otimes M)$

از آنجایی که $N \otimes M=N _{1} \otimes M +N _{2} \otimes M$ لذا نگاشت $\varphi : \frac{N _{1} \otimes M}{X} \rightarrow \frac{N \otimes M}{N _{2} \otimes M}$ یکریختی است اما هم چنین می دانیم $\frac{N \otimes M}{N _{2} \otimes M} \cong \frac{N}{N _{2}} \otimes M \cong \frac{N _{1}}{N _{1} \cap N _{2}} \otimes M \cong \frac{N _{1} \otimes M}{N _{1} \cap N _{2}\otimes M}$

یعنی

$$\varphi ^{'} : \frac{N _{1} \otimes M}{X} \rightarrow \frac{N _{1} \otimes M}{N _{1} \cap N _{2}\otimes M}$$ نیز یکریختی است پس حکم ثابت شد.

Comments

برای بدست آوردن تساویدومجموعه به نظر شما ازعضوگیری استفاده کنیم بهتر نیست ؟