رابطه ی $N \cap (K \oplus P)=(N \cap K) \oplus (N \cap P) $ همواره برقرار نیست بلکه شرط
$K \subseteq N $ را لازم دارد. و اگر این شرط برقرار باشد آنگاه $ N \cap K=K $ پس رابطه به صورت $N \cap (K \oplus P)= K \oplus (N \cap P) $ در می آید.
در واقع این سوال تمرین 2 فصل اول کتاب مقدمه ای بر نظریه مدولهای یاسمی- پورنکی است.
برای مثال نقض قرار دهید $K=\{(x,0) : x \in R\}$ و $N=\{(0,x) : x \in R\}$ و$P=\{(x,x) : x \in R\}$
آنگاه $ (K \oplus P)= R^{2} $ پس $ N \cap (K \oplus P)=N $ و $N \cap K =\{(0,0)\} $ و $ N \cap P =\{(0,0)\} $
اثبات رابطه با شرط $K \subseteq N $ نیز به سادگی با عضو گیری امکان پذیر است.
برای رابطه دوم اولا قضیه زیر را داریم:
اگر $ D_{1} $ و $ D_{2} $ دو زیر مدول $ A_{1} $ و $ A_{2} $ باشند آنگاه $$ \frac{A_{1} \oplus A_{2} }{D_{1} \oplus D_{2} } \cong \frac{A_{1} }{D_{1} } \oplus \frac{A_{2} }{D_{2} } $$
کافیست در رابطه بالا قرار دهیم $ A_{1}=K $ و $D_{1}=N $و $A_{2}=P $و $D_{2}=N $ آنگاه
$$ \frac{K \oplus P }{N } \cong \frac{K }{N } \oplus \frac{P}{N } $$
