خواص جمع مستقیم$N \cap (K \oplus P)=(N \cap K) \oplus (N \cap P)$

Question

نشان دهید:

$$N \cap (K \oplus P)=(N \cap K) \oplus (N \cap P)$$ $$\frac{K \oplus P}{N}= \frac{K }{N} \oplus \frac{P+N }{N}$$

Answer 1

رابطه ی $N \cap (K \oplus P)=(N \cap K) \oplus (N \cap P)$ همواره برقرار نیست بلکه شرط $K \subseteq N$ را لازم دارد. و اگر این شرط برقرار باشد آنگاه $N \cap K=K$ پس رابطه به صورت $N \cap (K \oplus P)= K \oplus (N \cap P)$ در می آید.

در واقع این سوال تمرین 2 فصل اول کتاب مقدمه ای بر نظریه مدولهای یاسمی- پورنکی است.

برای مثال نقض قرار دهید $K=\{(x,0) : x \in R\}$ و $N=\{(0,x) : x \in R\}$ و$P=\{(x,x) : x \in R\}$

آنگاه $(K \oplus P)= R^{2}$ پس $N \cap (K \oplus P)=N$ و $N \cap K =\{(0,0)\}$ و $N \cap P =\{(0,0)\}$

اثبات رابطه با شرط $K \subseteq N$ نیز به سادگی با عضو گیری امکان پذیر است.

برای رابطه دوم اولا قضیه زیر را داریم: اگر $D_{1}$ و $D_{2}$ دو زیر مدول $A_{1}$ و $A_{2}$ باشند آنگاه

$$\frac{A_{1} \oplus A_{2} }{D_{1} \oplus D_{2} } \cong \frac{A_{1} }{D_{1} } \oplus \frac{A_{2} }{D_{2} }$$

کافیست در رابطه بالا قرار دهیم $A_{1}=K$ و $D_{1}=N$و $A_{2}=P$و $D_{2}=N$ آنگاه

$$\frac{K \oplus P }{N } \cong \frac{K }{N } \oplus \frac{P}{N }$$