$\mathbb Z_p^ \infty$ به عنوان $\mathbb Z$ -مدول زیر مدول ماکسیمال ندارد؟

Question

$\mathbb Z_p^ \infty$ به عنوان $\mathbb Z$ مدول زیر مدول ماکزیمالی ندارد

Answer 1

فرض کنیم $L$ زیرمدولی ماکسیمال از $\mathbb Z_p^\infty$ باشد. می دانیم اعضای ناصفر $\mathbb Z_p^\infty$ به شکل$ \frac{a}{p^k} +\mathbb Z $ هستند که در آن $k$ عددی طبیعی است و می توان فرض کرد $a$ عددی صحیح است که $(a,p^k)=1$. بنابراین اعدادی صحیح مثل $u,s$ وجود دارند که $ua+p^ks=1$. این نشان می دهد $ \frac{1}{p^k} +\mathbb Z\in L$ . چون $L$ یک زیر مدول از $\mathbb Z_p^\infty$ است پس $ \frac{1}{p^i}+\mathbb Z\in L $ برای هر$i \leq k $. از طرفی می توان دید برای هر $j\in \mathbb N$ ، $ \frac{1}{p^j} L $ زیر مدولی از $ \mathbb Z_p^\infty$ است که شامل $L$ است. چون $L\neq \mathbb Z_p^\infty$ پس عنصر مثل $ \frac{a}{p^t} + \mathbb Z\in \mathbb Z_p^\infty \backslash L$ وجود دارد که در آن $t$ عددی طبیعی است. پس $ \frac{a}{p^{t+j}} + \mathbb Z \notin \frac{1}{p^j} L$. چون $L$ ماکسیمال است پس $ L= \frac{1}{p^j} L $ برای هر عدد طبیعی مانند $j$. لذا برای هر $i\in \mathbb N$، $ \frac{1}{p^i} + \mathbb Z\in L$. بنابراین برای هر عدد صحیح $a$ و هر عدد طبیعی $i$، $ \frac{a}{p^i} + \mathbb Z\in L$ که نشان می دهد $L=\mathbb Z_p^\infty$ واین با ماکسیمال بودن $L$ در تناقض است.