$\mathbb Q$ به عنوان $\mathbb Z$ -مدول زیر مدول ماکسیمال ندارد.

Question

ثابت کنید $\mathbb Q$ به عنوان $\mathbb Z$ مدول زیر مدول ماکسیمال ندارد

Answer 1

با سلام. فرض کنیم $L$ زیر مدولی ماکسیمال از $\mathbb Q$ باشد. در اینصورت به راحتی می توان دید برای هر $a\in \mathbb Z$ مجموعه $ \frac{1}{a}L $ زیر مدولی از $\mathbb Q$ است که شامل $L$ است. چون $\mathbb Q \neq L$ پس عنصری مثل $ \frac{x}{y}\in \mathbb Q \backslash L $ وجود دارد. پس $\frac{x}{ay}\notin \frac{1}{a} L $. لذا $ \frac{1}{a}L \neq \mathbb Q $. چون $L$ ماکسیمال است پس $ \frac{1}{a}L=L $. چون $a$ دلخواه بود پس $ \frac{1}{s}\in L $ برای هر $ \frac{w}{s}\in L $ . لذا $1\in L$ و بنابراین $\mathbb Z \subseteq L$. چون برای هر $a\in \mathbb Z$ داشتیم $ \frac{1}{a}L=L $ پس برای هر $a,b\in \mathbb Z$ داریم
$ \frac{a}{b} \in L$. در نتیجه $L=\mathbb Q$ و این با ماکسیمال بودن $L$ در تناقض است.