با سلام.
فرض کنیم
$L$
زیر مدولی ماکسیمال از
$\mathbb Q$
باشد. در اینصورت به راحتی می توان دید برای هر
$a\in \mathbb Z$ مجموعه
$ \frac{1}{a}L $
زیر مدولی از
$\mathbb Q$ است که شامل
$L$ است. چون
$\mathbb Q \neq L$
پس عنصری مثل
$ \frac{x}{y}\in \mathbb Q \backslash L $
وجود دارد.
پس
$\frac{x}{ay}\notin \frac{1}{a} L $. لذا $ \frac{1}{a}L \neq \mathbb Q $. چون $L$ ماکسیمال است پس $ \frac{1}{a}L=L $. چون $a$ دلخواه بود پس $ \frac{1}{s}\in L $ برای هر $ \frac{w}{s}\in L $ . لذا $1\in L$ و بنابراین $\mathbb Z \subseteq L$. چون برای هر
$a\in \mathbb Z$ داشتیم $ \frac{1}{a}L=L $ پس برای هر $a,b\in \mathbb Z$ داریم
$ \frac{a}{b} \in L$. در نتیجه $L=\mathbb Q$ و این با ماکسیمال بودن $L$ در تناقض است.
