اگر $0 \to A \to B \to C \to 0$ دقیق کوتاه و $B \simeq A \oplus C$ در اینصورت این رشته شکافته می شود؟

Question

اگر $0 \longrightarrow A \longrightarrow B \longrightarrow C \longrightarrow 0$یک رشته دقیق کوتاه باشد و $B \simeq A \oplus C$ آیا میتوان نتیجه گرفت رشته فوق شکافته است؟

Comments

باید مشخص می کردید که مثلا  $A$ مدوله ، گروهه یا فضای برداری؟؟؟؟؟؟؟
چون  مثلا هر دنباله دقیق از فضاهای برداری شکافته می شود.

---

من دقیق عین سوال نوشتم

Answer 1

قرار دهید $A=(a) $و$B=(b) $و$C=(c) $گروه های دوری از مرتبه های به ترتیب $ 2$و$4$و$ 2 $ باشند. $i:A \rightarrow B $ را به صورت $i(a)=2b $ و $p:B \rightarrow C $ را به صورت $p(b)=c $تعریف میکنیم آنگاه $0 \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 0 $ یک دنباله کوتاه دقیق است که شکافته نمی شود. چون $im(i)=(2b)$ حتی زیرگروه محض $ B$ نیست.

منبع:$Advanced \ Modern \ Algebra$ از $Joseph \ J. Rotman$ مثال $6.35$ صفخه $413$