پرسشتان نامفهوم است. اگر در حال گفتن تعریف مدول یکدست هستید که تعریف را اشتباه گفتهاید.
به یاد آورید که اگر $M$ و $N$ و $P$ سه $R$-مدول چپ و $Q$ یک $R$-مدول راست باشد آنگاه در صورت دقیق بودن دنبالهٔ زیر
$$\lbrace 0\rbrace\rightarrow M\rightarrow N\rightarrow P\rightarrow\lbrace 0\rbrace$$
دنبالهٔ زیر همواره دقیق است (بدون هیچ فرض بیشتری بر روی مدولهایمان).
$$Q\otimes_R M\rightarrow Q\otimes_R N\rightarrow Q\otimes_R P\rightarrow\lbrace 0\rbrace$$
توجه کنید که دنبالهٔ دوم نسبت به یک دنبالهٔ دقیق کوتاه یک قسمت کم دارد یعنی $\lbrace 0\rbrace\rightarrow Q\otimes_R M$. چیزی که پیشتر گفتیم فقط ادعا میکند که بقیهٔ دنباله دقیق است، چیزی در مورد دقیق بودن در این قسمت نمیگوید، ممکن است گاهی برقرار باشد و گاهی نباشد. اکنون اگر مدول $Q$ قسمت آخر دنباله را برای هر $M$ و $N$ و $P$ ای که دنبالهٔ دقیق کوتاه بسازند هم دقیق نگهدارد، آنرا یک $R$-مدول یکدست میگوئیم. یعنی این تعریف مدول یکدست است! زمانی که اینگونه تعریف شدهاست شما به دنبال اثبات چه هستید؟
به عنوان یک منبع مقدماتی که در این مورد مطالعه کنید میتوانید کتاب Abstract Algebra نوشتهٔ David S. Dummit و Richard M. Foote. را نگاه کنید. در ویرایش سوم، از صفحهٔ ۳۹۸ شروع به معرفی این مفهوم میکند و صفحهٔ ۴۰۰ تعریف مدول یکدست را انجام میدهد.
اگر نه تعریف مدول یکدست را میدانید و واقعا پرسشتان این است که اگر مدول سوم در یک دنبالهٔ کوتاه دقیق از مدولها یکدست باشد آنگاه آیا برای یک مدول دلخواه دنبالهٔ دقیق دوم حاصل از ضرب تانسوری مدول دلخواه در دنبالهٔ نخست دقیق از چپ میشود یا خیر آنگاه پاسختان منفی است.
حلقه را $\mathbb{Z}$ و مدول $P$ را مدول آزاد (و درنتیجه یکدست) $2\mathbb{Z}$ بردارید. دنبالهٔ دقیق زیر را در نظر بگیرید:
$$\{0\}\rightarrow\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}\rightarrow 2\mathbb{Z}\rightarrow\{0\}$$
نگاشتِ $\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ را $k\mapsto 2k$ گرفتهایم. اکنون مدول $Q$ را یک مدول نایکدست مانند $\frac{\mathbb{Q}}{\mathbb{Z}}$ بردارید. نگاشتِ $Q\otimes M\rightarrow Q\otimes N$ یکبهیک نیست.
