از آنجا که برچسب جبر پیشرفته و مدول‌ها را برداشته‌اید پس اشیاءتان مدول هستند. چون فرض خاصی نگذاشته‌اید احتمالا $\mathbb{Z}$ و $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ را به عنوان $\mathbb{Z}$-مدول در نظر گرفته‌اید. یک دنبالهٔ دقیق از $R$-مدول‌ها (که $R$ یک حلقه است) یعنی یک گردایه از $R$-مدول‌های $M_i$ و $R$-همریختی‌های مدولی $\phi_i\colon M_i\rightarrow M_{i+1}$ که برای هر $i$ داشته‌باشیم $\rm{Im}(\phi_i)=\ker(\phi_{i+1})$. یعنی بُردِ همریختی هر گام با هستهٔ همریختی گام پسینش برابر باشد. یک دنبالهٔ دقیق کوتاه گفته می‌شود هر گاه پنج مدول و ۴ همریختی داشته باشد که مدول‌های شروع و پایان مدول بدیهی $\lbrace 0\rbrace$ هستند و همریختی‌های نخست و آخر نیز همریختی‌های بدیهی شمول، و ثابت تصویر به صفر هستند. پس اگر سه مدول میانی را با $A$ و $B$ و $C$ نمایش دهید و دو همریختی میانی را با $f$ و $g$، آنگاه می‌نویسیم
$$0\rightarrow A\overset{f}{\rightarrow} B\overset{g}{\rightarrow} C\rightarrow0$$
که توجه داریم که هر سه مدول $A$ و $B$ و $C$ باید $R$-مدول با حلقهٔ اسکالری یکسان یعنی $R$های یکسان باشند. و دو نگاشت بدیهی نخست و پایانی که اشاره کرده‌بودیم ضابطهٔ زیر را دارند:
$$
\left\lbrace\begin{array}{cl}
\lbrace 0\rbrace &\rightarrow A\\
0 &\mapsto 0_A
\end{array}\right.,\quad\left\lbrace\begin{array}{cl}
C &\rightarrow \lbrace 0\rbrace\\
x &\mapsto 0
\end{array}\right..
$$
اکنون برویم سراغ حالت شما؛ $R=\mathbb{Z}$، $A=C=\mathbb{Z}$، $B=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$. چون همریختی‌ها را نیاورده‌اید به سراغ بدیهی‌ترین و سریع‌ترین انتخاب‌های ممکن که به ذهن‌تان باید برسد می‌رویم. همیشه چند نوع تابع باید در ذهن‌تان حاضر آماده باشد، تابع همانی، تابع‌های شمول، تابع‌های تصویر و ... . به نظرتان تابع‌های زیر راحت به ذهن نمی‌رسند؟
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl}
f\colon & \mathbb{Z} &\rightarrow \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\\
& x & \mapsto (x,0)
\end{array}\right.,\quad\left\lbrace\begin{array}{lcl}
g\colon & \mathbb{Z} &\rightarrow \mathbb{Z}\\
& (x,y) & \mapsto y
\end{array}\right..$$
اینکه $\mathbb{Z}$-همریختی مدولی هستند را باید به سادگی بتوانید بنویسید. نگاشت یکُم در واقع نوعی شمول و نشاندن است و نگاشت دوم در واقع تصویر بر مؤلفهٔ دوم. به هر حال برویم سراغ شرط دقیق بودن دنبالهٔ کوتاه‌مان. اینکه تصویر همریختی پیکان نخست با هستهٔ همریختی پیکان دوم برابر شود یعنی $\ker(f)=\lbrace 0\rbrace$ که یک به یک بودنش را می‌رساند. این را هم باید به سادگی بتوانید بنویسید. اینکه تصویر پیکان سوم با هستهٔ پیکان چهارم برابر شود یعنی $\rm{Im}(g)=\mathbb{Z}$ (چون نگاشت پیکان آخر همه چیز را به صفر می‌برد پس در واقع هسته‌اش همان دامنه‌اش است) که یعنی پوشا بودن $g$. این را هم باید بتوانید به سادگی بنویسید. میماند گام آخر یعنی نشان دادن برابر بودن تصویر پیکان دوم با هستهٔ پیکان سوم که یعنی $\rm{Im}(f)=\ker(f)$. این را هم باید به سادگی بتوانید بنویسید ولی با این حال برایتان اینجا می‌آوریم. توجه کنید که هر دوی $\rm{Im}(f)$ و $\ker(g)$ زیرمجموعه‌هایی از $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ هستند. یک عضو در $\rm{Im}(f)$ به دلخواه بردارید پس باید به شکل $(x,y)$ای باشد که $x,y\in\mathbb{Z}$ و عضوی از $\mathbb{Z}$ (دامنهٔ $f$) مانند $x_1$ای باشد که $(x,y)=f(x_1)$ با توجه به تعریف $f$ یعنی $(x,y)=(x_1,0)$ که یعنی $y=0$ پس اگر اکنون از آن $g$ بگیریم داریم $g((x,y))=y=0$ پس $(x,y)\in\ker(g)$. تا اینجا ثابت کردیم که $\rm{Im}(f)\subseteq\ker(g)$. برویم سراغ عکس آن. اگر $(x,y)$ در $\ker(g)$ باشد آنگاه $g((x,y))=0$ که یعنی $y=0$ پس از اول به شکلِ $(x,0)$ بوده‌است که $x$ عددی صحیح است، اما چنین عضوی برابر است با $f(x)$ که در $\rm{Im}(f)$ قرار می‌گیرد. پس سمت برعکس زیرمجموعه بودن نیز ثابت شد و در نتیجه $\rm{Im}(f)=\ker(g)$. پس دنبالهٔ دقیق کوتاه‌بودن تمام شد.
اکنون به سراغ شکافتن برویم. شکافته‌شدن یک دنبالهٔ دقیق کوتاه چند تعریف هم‌ارز دارد. در کتاب منبعی که برای جبر پیشرفته معرفی‌تان باید شده باشد در کلاس مطمئنا چندین شرط را به شما آموزش داده است (بدون وقت گذاشتن و خواندن کتاب یا شرکت در کلاس نمی‌توانید انتظار موفق بودن در حل‌کردن تمرین یا امتحان داشته‌باشید! حتما کتابی که بهتان معرفی شده را نگاه کنید!). من یک شرط را می‌آورم و برای تمرین و وظیفهٔ شخصی خودتان بروید و شرط‌های هم‌ارز دیگر آن را از منبع‌های موجود بخوانید. دنبالهٔ دقیق کوتاه ما شکافته می‌شود اگر بتوانیم برای همریختی مدولی $g$ یک وارون راست بیاییم. وارون راست برای $g$ یعنی یک همریختی مدولی $h\colon C\rightarrow B$ که $g\circ h=\rm{id}_C$ که منظور از $\circ$ ترکیب تابع‌ها و منظور از $\rm{id}_C$ تابع همانی بر روی $C$ است. باید خیلی ساده برای این پرسش به ذهن‌تان ضابطهٔ یک چنین $h$ای برسد. تعریف می‌کنیم
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl}
h\colon & \mathbb{Z} &\rightarrow \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\\
& y & \mapsto (0,y)
\end{array}\right.$$
خودتان اثبات اینکه یک $\mathbb{Z}$-همریختی مدولی است و اینکه $g(h(y))=y$ به ازای هر $y\in\mathbb{Z}$ را بنویسید.
