Question

$R$مدولی مثل $M$مثال بزنید که $Hom(M,-)$ روی $R$ دقیق راست نباشد

Comments

لطفا برای نوشتن فرمول ریاضی یا حروف انگلیسی ابتدا روی دکمه ی ریاضی کلیک کنید و درون آن فرمول را بنویسید.

Answer 1

قرار میدهیم $ M= \frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z} $ و $Hom(M,-)$ را روی دنباله ی دقیق زیر اثر میدهیم $$ 0 \rightarrow 2\mathbb Z \rightarrow \mathbb Z \rightarrow \frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z} \rightarrow 0 $$ اگر فرض کنیم این تابعگون دقیق راست نیز است لذا باید داشته باشیم:

$$ 0 \rightarrow Hom(\frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z},2\mathbb Z) \rightarrow Hom(\frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z},\mathbb Z) \rightarrow Hom(\frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z},\frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z} ) \rightarrow 0 $$

یعنی $$ 0 \rightarrow 0 \rightarrow 0 \rightarrow Hom(\frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z},\frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z} ) \rightarrow 0 $$

پس باید $ Hom(\frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z},\frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z} ) $ برابر صفر باشد اما $id \in Hom(\frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z},\frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z} ) $ و این تناقض است.