ثابت کنید $G \otimes \mathbb Q =0$

Question

فرض کنید$G$ گروه آبلی باشدکه مرتبه ی هر عضوش متناهی است ثابت کنید $G \otimes \mathbb Q =0$

Comments

لطفا از امکان تایپ ریاضی موجود استفاده کنید.

Answer 1

کافیست ثابت کنیم به ازای هر $x \in G $ و هر عضو در $\mathbb Q $ مانند $ y $ داریم $ x \otimes y=0 $

برای این کار فرض کنید مرتبه ی $ x $ برابر $n $ باشد(طبق فرض مرتبه هر عنصر متناهی است) لذا داریم:

$$ x \otimes y=x \otimes n \frac{y}{n} = xn \otimes \frac{y}{n} =0 \otimes \frac{y}{n}=0 $$

و لذا حکم ثابت شد.