ثابت کنید $G \otimes \mathbb Q =0$

Question

فرض کنید$G$ گروه آبلی باشدکه مرتبه ی هر عضوش متناهی است ثابت کنید $G \otimes \mathbb Q =0$

Comments

لطفا از امکان تایپ ریاضی موجود استفاده کنید.

Answer 1

کافیست ثابت کنیم به ازای هر $x \in G$ و هر عضو در $\mathbb Q$ مانند $y$ داریم $x \otimes y=0$

برای این کار فرض کنید مرتبه ی $x$ برابر $n$ باشد(طبق فرض مرتبه هر عنصر متناهی است) لذا داریم:

$$x \otimes y=x \otimes n \frac{y}{n} = xn \otimes \frac{y}{n} =0 \otimes \frac{y}{n}=0$$

و لذا حکم ثابت شد.